Номер 356, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 356, страница 67.

Условие 2023.

356. Из произвольной точки $O$, которая принадлежит острому углу $A$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $OB$ и $OC$ на его стороны. Докажите, что $\angle OAB = \angle OCB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан острый угол с вершиной в точке A. Обозначим его стороны лучами, проходящими через точки B и C. По условию, из произвольной точки O, расположенной внутри угла, опущены перпендикуляры OB и OC на эти стороны.

По определению перпендикуляра, мы имеем: $OB \perp AB$, что означает $\angle OBA = 90^\circ$. $OC \perp AC$, что означает $\angle OCA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник ABOC. В этом четырехугольнике сумма двух противолежащих углов, $\angle OBA$ и $\angle OCA$, равна: $\angle OBA + \angle OCA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Согласно признаку вписанного четырехугольника, если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, точки A, B, O и C лежат на одной окружности.

В окружности, описанной около четырехугольника ABOC, углы $\angle OAB$ и $\angle OCB$ являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу — дугу OB.

По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Отсюда следует, что $\angle OAB = \angle OCB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle OAB = \angle OCB$ доказано на основе того, что точки A, B, O, C лежат на одной окружности, а углы $\angle OAB$ и $\angle OCB$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу OB.

Условие 2015-2022.

356. Из произвольной точки $O$, которая принадлежит острому углу $A$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $OB$ и $OC$ на его стороны. Докажите, что $\angle OAB = \angle OCB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).