Номер 359, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 359, страница 67.

Условие 2023.

359. Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABFD$. Докажите, что $\angle ACO = \angle OCB$, где $O$ – точка пересечения диагоналей квадрата.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство.

Для решения задачи докажем, что точки A, B, C и O лежат на одной окружности. Затем, используя свойства вписанных углов, докажем равенство искомых углов.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. $AB$ — его гипотенуза. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе, длина медианы $CM$ равна половине длины гипотенузы:

$CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Это означает, что точка $C$ лежит на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R = \frac{1}{2}AB$. Точки $A$ и $B$ также лежат на этой окружности, так как являются концами диаметра.

2. Теперь рассмотрим квадрат $ABFD$, построенный на гипотенузе $AB$. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AF$ и $BD$. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным ($AO = BO$) и прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$).

3. В прямоугольном треугольнике $AOB$, отрезок $OM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$. По тому же свойству медианы прямоугольного треугольника:

$OM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

4. Из пунктов 1 и 3 следует, что $CM = OM = \frac{1}{2}AB$. Это означает, что точки $C$ и $O$ равноудалены от точки $M$ — середины отрезка $AB$. Так как точки $A$ и $B$ также удалены от $M$ на это же расстояние, все четыре точки — $A$, $B$, $C$ и $O$ — лежат на одной окружности с центром в $M$ и диаметром $AB$.

5. Поскольку точки $A, C, B, O$ лежат на одной окружности, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Углы $\angle ACO$ и $\angle ABO$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $AO$. Следовательно, $\angle ACO = \angle ABO$.
• Углы $\angle OCB$ и $\angle OAB$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $OB$. Следовательно, $\angle OCB = \angle OAB$.

6. В квадрате $ABFD$ диагонали являются биссектрисами его углов. Углы квадрата равны $90^\circ$.

• Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle FBA$, поэтому $\angle ABO = \frac{1}{2}\angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
• Диагональ $AF$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

7. Из равенств, полученных в пунктах 5 и 6, следует:

$\angle ACO = \angle ABO = 45^\circ$

$\angle OCB = \angle OAB = 45^\circ$

Таким образом, мы доказали, что $\angle ACO = \angle OCB = 45^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано, $\angle ACO = \angle OCB$.

Условие 2015-2022.

359. Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABFD$. Докажите, что $\angle ACO = \angle OCB$, где $O$ – точка пересечения диагоналей квадрата.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).