Номер 364, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 364, страница 68.

Условие 2023.

364. Через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$. Эта прямая пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $AMSK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — середина диагонали AC параллелограмма ABCD. По условию, через точку O проведена прямая, которая пересекает прямые AB и CD в точках M и K соответственно. Требуется определить вид четырёхугольника AMCK.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOM $ и $ \triangle COK $. В этих треугольниках:
1. $ AO = CO $, так как по условию точка O является серединой диагонали AC.
2. $ \angle OAM = \angle OCK $ (или $ \angle BAC = \angle DCA $), так как эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD ($ AB \parallel CD $, поскольку ABCD — параллелограмм) и секущей AC.
3. $ \angle AOM = \angle COK $, так как эти углы являются вертикальными.

Таким образом, треугольники $ \triangle AOM $ и $ \triangle COK $ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $ MO = KO $.

Теперь рассмотрим четырёхугольник AMCK. Его диагонали AC и MK пересекаются в точке O. Мы знаем, что точка O является серединой диагонали AC ($ AO = CO $ по условию) и, как мы только что доказали, она также является серединой диагонали MK ($ MO = KO $).

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник AMCK является параллелограммом.

Ответ: Четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

Условие 2015-2022.

364. Через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$. Эта прямая пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $AMCK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).