Номер 367, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 367, страница 68.

Условие 2023.

367. Можно ли квадрат разрезать на тысячеугольник и 199 пятиугольников?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Предположим, что такой разрез возможен. Рассмотрим все многоугольники, на которые разрезан квадрат. Это один 1000-угольник и 199 пятиугольников, то есть всего $1 + 199 = 200$ многоугольников.

Подсчитаем общее число сторон всех этих многоугольников, если рассматривать их как отдельные фигуры. У 1000-угольника 1000 сторон, а у каждого из 199 пятиугольников по 5 сторон. Суммарное число сторон $S$ равно:

$S = 1000 + 199 \times 5 = 1000 + 995 = 1995$

Теперь рассмотрим, как эти стороны расположены в разрезанном квадрате. Все отрезки, образующие стороны многоугольников, можно разделить на два типа:

1. Внутренние стороны — те, которые являются общей границей для двух соседних многоугольников.
2. Граничные стороны — те, которые лежат на границе исходного квадрата.

Пусть $E_I$ — количество внутренних сторон, а $E_B$ — количество граничных сторон.

При подсчете общего числа сторон $S$ каждая внутренняя сторона учитывается дважды (по одному разу для каждого из двух многоугольников, которые она разделяет), а каждая граничная сторона — только один раз. Таким образом, мы можем записать следующую формулу:

$S = 2E_I + E_B$

Подставим в это равенство вычисленное значение $S$:

$1995 = 2E_I + E_B$

Число $1995$ является нечетным. Произведение $2E_I$ является четным числом при любом целом $E_I$. Чтобы равенство выполнялось, число $E_B$ должно быть нечетным, так как только сумма четного и нечетного чисел дает нечетное число.

Итак, мы пришли к выводу, что количество граничных сторон $E_B$ должно быть нечетным.

Однако, все граничные стороны в совокупности образуют периметр исходного квадрата. Существует общее свойство для любого разбиения многоугольника: число отрезков разбиения на границе исходного многоугольника имеет ту же четность, что и число вершин исходного многоугольника. Квадрат имеет 4 вершины, что является четным числом. Следовательно, число граничных сторон $E_B$ должно быть четным.

Мы получили противоречие: из одного рассуждения следует, что число граничных сторон $E_B$ должно быть нечетным, а из другого — что оно должно быть четным. Такое противоречие означает, что наше первоначальное предположение о возможности такого разреза неверно.

Ответ: Нет, такой разрез невозможен.

Условие 2015-2022.

367. Можно ли квадрат разрезать на тысячеугольник и 199 пятиугольников?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).