Номер 7, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 7, страница 72.

Условие 2023.

7. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно сторонам $AB$ и $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника, если

А) $MN \parallel AC$

В) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BAC$

Б) $MN = \frac{1}{2}AC$

Г) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BCA$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По определению, средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Если $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, соединяющая стороны $AB$ и $BC$, то точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ — серединой $BC$.

Свойства средней линии: она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, если $MN$ — средняя линия, то $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Задача состоит в том, чтобы найти достаточное условие, из которого следует, что $MN$ является средней линией. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $MN \parallel AC$
Если отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $MBN$ и $ABC$) следует, что $\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$. Однако, это отношение не обязательно равно $\frac{1}{2}$. Точки $M$ и $N$ могут делить стороны $AB$ и $BC$ в любом другом отношении. Следовательно, это условие не является достаточным.
Ответ: Неверно.

Б) $MN = \frac{1}{2}AC$
Одного лишь равенства длины отрезка $MN$ половине длины стороны $AC$ недостаточно. Отрезок $MN$ может не быть параллельным $AC$, и в этом случае точки $M$ и $N$ не будут серединами сторон $AB$ и $BC$.
Ответ: Неверно.

В) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BAC$
В общем случае это условие не гарантирует, что $MN$ является средней линией. Равенство углов $\angle BNM$ и $\angle BAC$ не является стандартным признаком подобия треугольников $MBN$ и $ABC$. Для подобия по двум углам необходимо равенство соответственных углов, например, $\angle BNM = \angle BCA$. Данное условие выполняется, только если треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ ($\angle BAC = \angle BCA$), что не является общим случаем.
Ответ: Неверно.

Г) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BCA$
Это условие является достаточным. Разберем его по частям:
1. Углы $\angle BNM$ и $\angle BCA$ являются соответственными при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$. Так как по условию эти углы равны ($\angle BNM = \angle BCA$), то прямые $MN$ и $AC$ параллельны: $MN \parallel AC$.
2. Из параллельности $MN \parallel AC$ следует, что треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$) по двум углам ($\angle B$ — общий, а $\angle BNM = \angle BCA$ по условию).
3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$.
4. Используем вторую часть условия: $MN = \frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что коэффициент подобия $\frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.
5. Тогда и другие отношения равны $\frac{1}{2}$:
$\frac{BM}{BA} = \frac{1}{2} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BA$, что означает, что $M$ — середина стороны $AB$.
$\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2} \Rightarrow BN = \frac{1}{2}BC$, что означает, что $N$ — середина стороны $BC$.
Поскольку $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ по определению является средней линией треугольника.
Ответ: Верно.

Условие 2015-2022.

7. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно сторонам $AB$ и $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией, если

А) $MN \parallel AC$

В) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BAC$

Б) $MN = \frac{1}{2}AC$

Г) $MN = \frac{1}{2}AC, \angle BNM = \angle BCA$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).