Номер 8, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 8, страница 73.

Условие 2023.

8. Какое из приведённых свойств не может иметь трапеция?

А) противолежащие углы равны

Б) диагонали равны и перпендикулярны

В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании

Г) средняя линия трапеции равна её высоте

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы определить, какое из свойств не может иметь трапеция, проанализируем каждое утверждение.

А) противолежащие углы равны

Пусть в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) противолежащие углы равны, то есть $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна $360^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.Подставив условия равенства углов, получим $2\angle A + 2\angle B = 360^\circ$, откуда следует, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$.Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, что выполняется, так как $AD \parallel BC$.Теперь рассмотрим сумму углов $\angle B$ и $\angle C$. Так как $\angle C = \angle A$, то $\angle B + \angle C = \angle B + \angle A = 180^\circ$. Если сумма внутренних односторонних углов при прямых $AB$, $DC$ и секущей $BC$ равна $180^\circ$, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).Таким образом, если у трапеции противолежащие углы равны, то у нее обе пары противолежащих сторон параллельны, а такой четырехугольник является параллелограммом.Согласно стандартному определению, трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна, а другая — нет. Следовательно, трапеция не может быть параллелограммом.Это означает, что трапеция не может обладать свойством равенства противолежащих углов.

Б) диагонали равны и перпендикулярны

Такое свойство возможно. Трапеция с равными диагоналями является равнобокой (равнобедренной). Условие перпендикулярности диагоналей в равнобокой трапеции выполняется, если ее высота равна средней линии: $h = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований.Приведем пример. Пусть основания трапеции равны $a=4$ и $b=2$. Тогда высота должна быть $h = \frac{4+2}{2} = 3$.Рассмотрим равнобокую трапецию с вершинами в точках $A(-2, 0)$, $D(2, 0)$, $B(-1, 3)$ и $C(1, 3)$.Основания $AD=4$ и $BC=2$. Высота $h=3$.Диагонали $AC$ и $BD$. Вектор $\vec{AC} = (1 - (-2), 3 - 0) = (3, 3)$. Вектор $\vec{BD} = (2 - (-1), 0 - 3) = (3, -3)$.Их скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) = 9 - 9 = 0$, значит, диагонали перпендикулярны.Их длины: $|\vec{AC}| = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18}$, $|\vec{BD}| = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18}$. Диагонали равны.Следовательно, трапеция может иметь равные и перпендикулярные диагонали.

В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании

Такое свойство возможно. Рассмотрим трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$. Условие означает, например, что $\angle A > \angle B$.Так как $AD \parallel BC$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Неравенство $\angle A > \angle B$ эквивалентно $180^\circ - \angle B > \angle B$, что дает $180^\circ > 2\angle B$, или $\angle B < 90^\circ$.То есть, свойство возможно, если у трапеции может быть острый угол при меньшем основании.Приведем пример. Рассмотрим трапецию с вершинами $A(2, 0)$, $B(0, 4)$, $C(3, 4)$, $D(6, 0)$.Основание $AD$ имеет длину $6-2=4$. Основание $BC$ имеет длину $3-0=3$. $AD$ — большее основание.Найдем угол $\angle B$ (угол $ABC$). Вектор $\vec{BA} = (2, -4)$, вектор $\vec{BC} = (3, 0)$.$\cos(\angle B) = \frac{2 \cdot 3 + (-4) \cdot 0}{\sqrt{2^2+(-4)^2}\sqrt{3^2+0^2}} = \frac{6}{\sqrt{20} \cdot 3} = \frac{2}{\sqrt{20}} > 0$. Значит, $\angle B$ — острый.Поскольку $\angle A + \angle B = 180^\circ$, а $\angle B$ — острый, угол $\angle A$ будет тупым. Следовательно, $\angle A > \angle B$.Таким образом, трапеция может обладать этим свойством.

Г) средняя линия трапеции равна её высоте

Такое свойство возможно. Средняя линия трапеции $m$ с основаниями $a$ и $b$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. Высота трапеции — это $h$. Свойство означает, что $h = \frac{a+b}{2}$.Для любых положительных $a$ и $b$ мы можем задать высоту $h$, равную их полусумме, и построить такую трапецию.Например, возьмем основания $a=10$, $b=6$. Тогда средняя линия $m = \frac{10+6}{2} = 8$. Зададим высоту $h=8$.Можно построить, например, прямоугольную трапецию с вершинами $A(0, 0)$, $B(0, 8)$, $C(6, 8)$, $D(10, 0)$.Это валидная трапеция, и у нее средняя линия равна высоте.Следовательно, трапеция может обладать таким свойством.

Из анализа всех вариантов следует, что единственное свойство, которым не может обладать трапеция (в стандартном определении) — это равенство противолежащих углов, так как это свойство однозначно определяет фигуру как параллелограмм.

Ответ: А

Условие 2015-2022.

8. Какое из приведённых свойств не может иметь трапеция?

А) противолежащие углы равны

Б) диагонали равны и перпендикулярны

В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании

Г) средняя линия трапеции равна её высоте

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).