Номер 1, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 1, страница 81.

Условие 2023.

1. Сформулируйте теорему Фалеса.

Решение 6 (2023).

1. Теорема Фалеса (также известная как основная теорема о пропорциональных отрезках) является одной из фундаментальных теорем планиметрии. Существует несколько формулировок, включая основную и обобщенную.

Основная формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Более простое изложение для угла:
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

На рисунке изображен угол с вершиной $O$. Параллельные прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ пересекают стороны угла. Согласно теореме, если отрезки на одной стороне равны, то есть $A_1A_2 = A_2A_3$, то отрезки, отсекаемые на другой стороне, также будут равны: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках):
Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые (или стороны угла), отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Для того же рисунка это означает, что выполняется соотношение: $ \frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2} $ или $ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} = \frac{OA_1}{OB_1} $.

Обратная теорема Фалеса:
Если прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на обеих прямых пропорциональные отрезки, начиная от точки их пересечения, то эти прямые параллельны.

То есть, если $\frac{OA_1}{OB_1} = \frac{OA_2}{OB_2}$, то прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны ($A_1B_1 \parallel A_2B_2$).

Ответ: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Условие 2015-2022.

1. Сформулируйте теорему Фалеса.