Номер 368, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 368, страница 82.

Условие 2023.

368. Начертите произвольный отрезок и разделите его на пять равных частей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы разделить произвольный отрезок на пять равных частей с помощью циркуля и линейки, используется метод, основанный на теореме Фалеса. Ниже приведено пошаговое описание этого построения.

Алгоритм построения:
1. Начертите произвольный отрезок, назовем его $AB$.
2. Из одного из концов отрезка, например из точки $A$, проведите луч $AC$, образующий с отрезком $AB$ любой острый угол (угол $CAB$).
3. На луче $AC$, начиная от точки $A$, отложите с помощью циркуля пять равных между собой отрезков любой удобной длины. Получим точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ так, что $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$.
4. Соедините последнюю точку $P_5$ на луче с другим концом исходного отрезка — точкой $B$. Вы получите отрезок $P_5B$.
5. Теперь через точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_5B$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ соответственно.

Обоснование:
Согласно обобщённой теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. В нашем случае, прямые $P_1Q_1$, $P_2Q_2$, $P_3Q_3$, $P_4Q_4$ и $P_5B$ параллельны. Они пересекают стороны угла $CAB$. Так как на стороне $AC$ они отсекают равные отрезки ($AP_1 = P_1P_2 = \dots$), то и на стороне $AB$ они также отсекут равные отрезки. Следовательно, $AQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4 = Q_4B$.

Таким образом, точки $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ делят отрезок $AB$ на пять равных частей.

Ответ: Произвольный отрезок $AB$ разделен на пять равных частей точками $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$, полученными в результате построения по теореме Фалеса.

Условие 2015-2022.

368. Начертите произвольный отрезок и разделите его на пять равных частей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).