Номер 371, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 371, страница 82.

Условие 2023.

371. Начертите произвольный отрезок $CD$ и постройте на нём точку $E$ такую, что $CE : ED = 1 : 5$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения точки $E$ на отрезке $CD$, которая делит его в заданном отношении $CE : ED = 1 : 5$, используется классический метод геометрического построения с помощью циркуля и линейки, основанный на теореме Фалеса.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный отрезок $CD$.
2. Из одного из концов отрезка, например, из точки $C$, проведите произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $CD$.
3. Заданное отношение равно $1:5$. Найдем сумму частей: $1 + 5 = 6$. Это означает, что для построения нам потребуется разделить вспомогательный луч на 6 равных частей.
4. С помощью циркуля отложите на луче $l$, начиная от точки $C$, шесть равных отрезков произвольной, но фиксированной длины. Для этого установите произвольный раствор циркуля, поставьте его ножку в точку $C$ и сделайте засечку на луче $l$, получив точку $A_1$. Затем, не меняя раствора циркуля, установите ножку в точку $A_1$ и сделайте следующую засечку, получив точку $A_2$. Повторите эту операцию, пока не получите шесть точек: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Таким образом, будет выполнено равенство отрезков: $CA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6$.
5. Соедините последнюю точку $A_6$ на луче с другим концом исходного отрезка — точкой $D$.
6. Теперь необходимо провести прямую через точку $A_1$ (которая соответствует первой части из шести) параллельно построенному отрезку $A_6D$. Точка, в которой эта параллельная прямая пересечет отрезок $CD$, и будет искомой точкой $E$.

Обоснование:

По обобщенной теореме Фалеса, если две параллельные прямые ($A_1E$ и $A_6D$) пересекают стороны угла (в нашем случае угла, образованного прямыми $CD$ и $l$), то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.По построению на луче $l$ мы имеем $CA_1$, который равен одной единичной части, и $A_1A_6$, который состоит из пяти таких же частей. Следовательно, их отношение равно $1:5$.$$ \frac{CA_1}{A_1A_6} = \frac{1}{5} $$Из теоремы Фалеса следует, что такое же отношение будет и для отрезков, отсекаемых на прямой $CD$:$$ \frac{CE}{ED} = \frac{CA_1}{A_1A_6} = \frac{1}{5} $$Таким образом, построенная точка $E$ делит отрезок $CD$ в заданном отношении $1:5$.

Ответ: Точка $E$ на отрезке $CD$ строится в соответствии с приведённым выше алгоритмом. В результате построения точка $E$ будет расположена на отрезке $CD$ таким образом, что будет выполняться требуемое соотношение $CE : ED = 1 : 5$.

Условие 2015-2022.

371. Начертите произвольный отрезок CD и постройте на нём точку E такую, что $CE : ED = 1 : 5$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).