Номер 370, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 370, страница 82.

Условие 2023.

370. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 2 : 7$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения на произвольном отрезке AB точки C, которая делит его в отношении $AC : CB = 2 : 7$, используется метод, основанный на теореме Фалеса. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Начертить произвольный отрезок AB.
2. Из конца отрезка, например, из точки A, провести произвольный луч AM, не лежащий на прямой AB. Угол MAB должен быть острым для удобства построения.
3. Определить общее количество равных частей, на которые нужно разделить отрезок. В данном случае это $2 + 7 = 9$ частей.
4. На луче AM от точки A отложить последовательно 9 равных между собой отрезков произвольной длины. Это можно сделать с помощью циркуля, не меняя его раствора. Обозначим полученные точки $A_1, A_2, A_3, \dots, A_9$. Таким образом, $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$.
5. Соединить последнюю точку $A_9$ на луче с точкой B, получив отрезок $A_9B$.
6. Согласно заданному отношению $AC:CB = 2:7$, точка C должна отсекать от A две части. На луче AM этому условию соответствует точка $A_2$. Через точку $A_2$ провести прямую, параллельную отрезку $A_9B$.
7. Точка пересечения построенной параллельной прямой с отрезком AB и будет искомой точкой C.

Обоснование: По обобщённой теореме Фалеса, если параллельные прямые ($A_2C$ и $A_9B$) пересекают стороны угла (в нашем случае угла MAB), то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, выполняется соотношение: $$ \frac{AC}{CB} = \frac{AA_2}{A_2A_9} $$ По построению, отрезок $AA_2$ состоит из 2 равных частей, а отрезок $A_2A_9$ состоит из $9 - 2 = 7$ таких же частей. Значит, $\frac{AA_2}{A_2A_9} = \frac{2}{7}$. Из этого следует, что и $\frac{AC}{CB} = \frac{2}{7}$, то есть $AC : CB = 2 : 7$, что и требовалось доказать.

Ответ: Точка C, построенная в соответствии с приведённым выше алгоритмом, является искомой точкой, так как она делит отрезок AB в заданном отношении $AC : CB = 2 : 7$.

Условие 2015-2022.

370. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 2 : 7$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).