Номер 369, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 369, страница 82.

Условие 2023.

369. Начертите произвольный отрезок и разделите его на семь равных частей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы разделить произвольный отрезок на семь равных частей, используется классический метод геометрического построения, основанный на теореме Фалеса. Для этого понадобятся только циркуль и линейка (без делений).

Вот пошаговый алгоритм действий:

1. Начертите произвольный отрезок. Обозначим его концы буквами $A$ и $B$.
2. Из одного из концов отрезка, например из точки $A$, проведите произвольный луч $AC$, который не лежит на прямой $AB$. Удобнее всего провести его под острым углом к отрезку $AB$.
3. На луче $AC$, начиная от точки $A$, отложите с помощью циркуля семь равных между собой отрезков. Для этого установите любой удобный раствор циркуля, поставьте иглу в точку $A$ и сделайте засечку на луче, получив точку $P_1$. Затем, не меняя раствора циркуля, переместите иглу в точку $P_1$ и сделайте следующую засечку, получив точку $P_2$. Повторите эту операцию, пока не получите семь точек: $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$. Таким образом, все отрезки на луче будут равны: $AP_1 = P_1P_2 = \dots = P_6P_7$.
4. Соедините последнюю отмеченную точку $P_7$ с другим концом исходного отрезка — точкой $B$. Получится отрезок $P_7B$.
5. Теперь через точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ на луче $AC$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_7B$. Точки, в которых эти прямые пересекут отрезок $AB$, обозначим соответственно $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6$.

Иллюстрация построения:

В результате этих построений точки $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6$ разделят отрезок $AB$ на семь абсолютно равных частей. Это следует из теоремы Фалеса: если параллельные прямые пересекают две стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. В нашем случае параллельные прямые отсекли равные отрезки на луче $AC$, следовательно, они отсекли равные отрезки и на отрезке $AB$.

Таким образом, мы получили, что $AQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4 = Q_4Q_5 = Q_5Q_6 = Q_6B$.

Ответ: Отрезок разделен на семь равных частей с помощью описанного выше геометрического построения.

Условие 2015-2022.

369. Начертите произвольный отрезок и разделите его на семь равных частей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).