Номер 4, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 4, страница 81.

Условие 2023.

4. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

Решение 6 (2023).

4. Теорема о пропорциональных отрезках, также известная как обобщенная теорема Фалеса, гласит, что если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Наиболее часто эту теорему применяют к треугольнику. В этом случае формулировка звучит так: прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие его стороны, делит эти стороны на пропорциональные отрезки.

Рассмотрим это на примере. Пусть в треугольнике $ \triangle ABC $ проведена прямая $DE$, которая параллельна стороне $AC$ ($DE \parallel AC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

Согласно теореме, отрезки, на которые точки $D$ и $E$ делят стороны, будут пропорциональны: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB} $$

Из этой основной пропорции также следуют и другие верные соотношения, например: $ \frac{AB}{AD} = \frac{CB}{CE} $.

Справедлива и обратная теорема: если прямая пересекает две стороны треугольника и делит их на пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне. То есть, если выполняется соотношение $ \frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB} $, то можно сделать вывод, что $DE \parallel AC$.

Ответ: Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от двух других его сторон пропорциональные отрезки. Если в треугольнике $ \triangle ABC $ проведена прямая $DE$, параллельная стороне $AC$ (где точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$), то справедливо соотношение: $ \frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB} $.

Условие 2015-2022.

4. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.