Номер 5, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 5, страница 81.

Условие 2023.

5. Сформулируйте теорему о пересечении медиан треугольника.

Решение 6 (2023).

Теорема о пересечении медиан треугольника: Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $△ABC$. Проведем в нем две медианы, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Пусть они пересекаются в точке $O$.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $△ABC$, так как он соединяет середины двух его сторон.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим треугольники $△AOB$ и $△A_1OB_1$:

• $∠OAB = ∠OA_1B_1$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AA_1$.
• $∠OBA = ∠OB_1A_1$ как накрест лежащие углы при тех же параллельных прямых, но при секущей $BB_1$.

Таким образом, $△AOB$ подобен $△A_1OB_1$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $

Поскольку $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AB}{\frac{1}{2}AB} = 2$, мы получаем: $ \frac{AO}{A_1O} = 2 $ и $ \frac{BO}{B_1O} = 2 $

Это доказывает, что точка пересечения $O$ двух медиан $AA_1$ и $BB_1$ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично, если мы рассмотрим пересечение медиан $BB_1$ и $CC_1$, мы докажем, что их точка пересечения делит медиану $BB_1$ в отношении 2:1, считая от вершины $B$. Так как на отрезке $BB_1$ существует только одна точка, делящая его в таком отношении, это означает, что третья медиана $CC_1$ также проходит через точку $O$.

Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Условие 2015-2022.

5. Сформулируйте теорему о пересечении медиан треугольника.