Номер 9, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 9, страница 73.

Условие 2023.

9. Вписанные углы одной окружности равны, если они

А) опираются на одну хорду

Б) имеют общую вершину

В) опираются на одну дугу

Г) имеют общую сторону

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойство вписанных углов окружности. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Ключевая теорема, связанная с вписанными углами, гласит: величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Если обозначить вписанный угол как $ \alpha $, а дугу, на которую он опирается, как $ \cup \beta $, то их связь выражается формулой:

$ \alpha = \frac{1}{2} \cdot \cup \beta $

Из этой теоремы следует, что вписанные углы будут равны тогда и только тогда, когда они опираются на дуги равной величины. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) опираются на одну хорду

Хорда делит окружность на две дуги (большую и меньшую, если хорда не является диаметром). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, могут иметь вершины на разных дугах. Если вершины углов лежат на одной дуге, то они действительно опираются на одну и ту же вторую дугу и, следовательно, равны. Однако если их вершины лежат на разных дугах, то углы будут опираться на разные дуги (один на большую, другой на меньшую) и не будут равны. Таким образом, это условие не всегда гарантирует равенство углов.

Ответ: Неверно.

Б) имеют общую вершину

Если два вписанных угла имеют общую вершину, это означает лишь, что они исходят из одной точки на окружности. Их стороны могут быть разными хордами, которые стягивают разные дуги. Равенство таких углов не является обязательным и зависит от других условий.

Ответ: Неверно.

В) опираются на одну дугу

Если два или более вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то согласно теореме о вписанном угле, каждый из них равен половине угловой меры этой дуги. Пусть два угла, $ \angle \alpha_1 $ и $ \angle \alpha_2 $, опираются на одну и ту же дугу $ \cup \beta $. Тогда:
$ \angle \alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot \cup \beta $
$ \angle \alpha_2 = \frac{1}{2} \cdot \cup \beta $
Из этого следует, что $ \angle \alpha_1 = \angle \alpha_2 $. Это условие является достаточным и точным для равенства вписанных углов.

Ответ: Верно.

Г) имеют общую сторону

Если вписанные углы имеют общую сторону (т.е. одну общую хорду, исходящую из вершины), но вторые их стороны различны, то они будут опираться на разные дуги. В общем случае величины этих дуг не равны, а значит, и сами углы не будут равны.

Ответ: Неверно.

Условие 2015-2022.

9. Вписанные углы одной окружности равны, если они

А) опираются на одну хорду

Б) имеют общую вершину

В) опираются на одну дугу

Г) имеют общую сторону

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).