Номер 3, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 72.

Условие 2023.

3. В четырёхугольнике каждая сторона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырёхугольника?

А) $60^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $120^{\circ}$

Б) $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $90^{\circ}$, $90^{\circ}$

В) $90^{\circ}$, $90^{\circ}$, $90^{\circ}$, $90^{\circ}$

Г) $150^{\circ}$, $30^{\circ}$, $150^{\circ}$, $30^{\circ}$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. По условию, каждая его сторона равна одной и той же его диагонали. Обозначим длину этой общей для сторон и одной диагонали величины как $a$.

Из условия следует, что все четыре стороны четырёхугольника равны между собой: $AB = BC = CD = DA = a$. Такой четырёхугольник является ромбом. Также по условию одна из его диагоналей равна по длине стороне.

Предположим, что диагональ $AC$ равна стороне $a$, то есть $AC = a$.

Эта диагональ делит ромб $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Длины его сторон равны $AB = a$, $BC = a$ и $AC = a$. Поскольку все три стороны равны, треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$ и $\angle BCA = 60^\circ$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ длины сторон равны $AD = a$, $CD = a$ и $AC = a$. Этот треугольник также является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle ADC = 60^\circ$, $\angle DAC = 60^\circ$ и $\angle DCA = 60^\circ$.

Теперь определим углы четырёхугольника $ABCD$, складывая углы составляющих его треугольников:
Угол при вершине $B$: $\angle B = \angle ABC = 60^\circ$.
Угол при вершине $D$: $\angle D = \angle ADC = 60^\circ$.
Угол при вершине $A$: $\angle A = \angle BAC + \angle DAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Угол при вершине $C$: $\angle C = \angle BCA + \angle DCA = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, углы четырёхугольника равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$. Среди предложенных вариантов этот набор углов (в другом порядке) соответствует варианту А.

Ответ: А) $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.

Условие 2015-2022.

3. В четырёхугольнике каждая сторона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырёхугольника?

А) $60^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$

В) $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$

Б) $60^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$

Г) $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).