Номер 4, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 4, страница 72.

Условие 2023.

4. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см?

А) 5 см, 10 см

Б) 6 см, 4 см

В) 7 см, 8 см

Г) 3 см, 12 см

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи периметр равен 30 см, следовательно, $2(a + b) = 30$, откуда $a + b = 15$.

Пусть биссектриса $AK$ угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Поскольку $AK$ — биссектриса, то $\angle BAK = \angle KAD$. Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AK$ равны: $\angle BKA = \angle KAD$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Это означает, что треугольник $ABK$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BK$.

По условию, биссектриса делит сторону $BC$ пополам, то есть точка $K$ — середина $BC$. Значит, $BK = \frac{1}{2} BC$.

Обозначим длину стороны $AB$ как $a$, а длину стороны $BC$ как $b$. Тогда из полученных выше равенств следует, что $AB = a$ и $BK = \frac{b}{2}$. Так как $AB = BK$, то $a = \frac{b}{2}$, откуда $b = 2a$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений: $a + b = 15$ и $b = 2a$. Подставим второе уравнение в первое: $a + 2a = 15$. Отсюда $3a = 15$, и $a = 5$ см.

Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 5 см и 10 см.

Ответ: 5 см, 10 см.

Условие 2015-2022.

4. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см?

А) 5 см, 10 см

Б) 6 см, 4 см

В) 7 см, 8 см

Г) 3 см, 12 см

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).