Номер 5, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 1. Четырёхугольники - номер 5, страница 72.

Условие 2023.

5. Четырёхугольник является параллелограммом, если

А) у него имеются две пары равных сторон

Б) у него имеются две пары равных углов

В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника

Г) у него три стороны равны

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них является достаточным признаком параллелограмма.

А) у него имеются две пары равных сторон

Это утверждение не является достаточным. Если равны противолежащие стороны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то четырёхугольник является параллелограммом. Однако формулировка допускает случай, когда равны смежные стороны. Например, у дельтоида (воздушного змея) две пары равных смежных сторон ($AB = AD$ и $CB = CD$), но он не является параллелограммом (за исключением частного случая — ромба). Так как существует контрпример, это условие не гарантирует, что четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: неверно.

Б) у него имеются две пары равных углов

Это утверждение также не является достаточным. Если равны противолежащие углы ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$), то четырёхугольник является параллелограммом. Однако, если равны углы, прилежащие к одной стороне (например, у равнобокой трапеции углы при каждом основании равны), то такой четырёхугольник не обязательно будет параллелограммом. Например, в равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ углы $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$, но она не является параллелограммом. Следовательно, это условие не является достаточным.

Ответ: неверно.

В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника

Это утверждение является достаточным признаком параллелограмма. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Пусть диагональ $AC$ делит его на два равных треугольника: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороне $AB$ треугольника $ABC$ соответствует сторона $CD$ треугольника $CDA$, а стороне $BC$ — сторона $DA$. Таким образом, получаем $AB = CD$ и $BC = DA$. Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом (по одному из признаков параллелограмма). Условие для второй диагонали лишь подтверждает этот факт. Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

Г) у него три стороны равны

Это условие не является достаточным. Можно привести пример четырёхугольника, у которого три стороны равны, но он не является параллелограммом. Например, можно построить трапецию, у которой боковые стороны и меньшее основание равны между собой, но она не будет являться параллелограммом.

Ответ: неверно.

Условие 2015-2022.

5. Четырёхугольник является параллелограммом, если

А) у него имеются две пары равных сторон

Б) у него имеются две пары равных углов

В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника

Г) у него три стороны равны

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).