Номер 362, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 362, страница 68.

Условие 2023.

362. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ – высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через середину стороны $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. $AA_1$ и $CC_1$ — его высоты, проведенные к сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. Это означает, что $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$.

Из определения высоты следует, что треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$ являются прямоугольными, так как $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.

Рассмотрим точки $A, C, A_1, C_1$. Точки $A_1$ и $C_1$, из которых отрезок $AC$ виден под прямым углом, лежат на окружности, для которой отрезок $AC$ является диаметром.

Пусть точка $M$ — середина стороны $AC$. По определению, центр окружности, построенной на отрезке как на диаметре, находится в середине этого отрезка. Таким образом, точка $M$ является центром окружности, проходящей через точки $A, C_1, C, A_1$.

Поскольку точки $A_1$ и $C_1$ лежат на этой окружности с центром в точке $M$, отрезки $MA_1$ и $MC_1$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, их длины равны:

$MA_1 = MC_1$

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Так как точка $M$ равноудалена от точек $A_1$ и $C_1$, она принадлежит серединному перпендикуляру отрезка $C_1A_1$.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через середину стороны $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

362. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через середину стороны $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).