Номер 357, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 357, страница 67.

Условие 2023.

357. Биссектрисы $BK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $\angle A = 60^{\circ}$. Найдите $\angle CMK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Поскольку по условию $\angle A = 60^\circ$, то сумма двух других углов составляет $\angle B + \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис $BK$ и $CM$. Рассмотрим треугольник $BOC$. Углы этого треугольника связаны с углами треугольника $ABC$ следующим образом: $\angle OBC = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle OCB = \frac{1}{2}\angle C$, так как $BK$ и $CM$ — биссектрисы.

Сумма углов в треугольнике $BOC$ равна $180^\circ$, откуда можно найти угол $\angle BOC$:

$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Подставляя ранее найденное значение $\angle B + \angle C = 120^\circ$, получаем:

$\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle MOK$ и угол $\angle BOC$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle MOK = \angle BOC = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AMOK$. Сумма его противолежащих углов $\angle MAK$ (что есть $\angle A$) и $\angle MOK$ равна:

$\angle MAK + \angle MOK = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма противолежащих углов четырехугольника $AMOK$ равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность (он является вписанным). Это означает, что точки $A, M, O, K$ лежат на одной окружности.

Для вписанного в окружность четырехугольника углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle OMK$ и $\angle OAK$ опираются на одну дугу $OK$. Следовательно, $\angle OMK = \angle OAK$.

Поскольку точка $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, то она является центром вписанной окружности (инцентром), и биссектриса угла $A$ также проходит через эту точку. Таким образом, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$.

Отсюда находим величину угла $\angle OAK$:

$\angle OAK = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Так как точки $C, O, M$ лежат на одной прямой (биссектрисе $CM$), то искомый угол $\angle CMK$ равен углу $\angle OMK$.

Следовательно, $\angle CMK = \angle OMK = \angle OAK = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Условие 2015-2022.

357. Биссектрисы $BK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $ \angle A = 60^\circ $. Найдите $ \angle CMK $.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).