Номер 321, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 321, страница 60.

Условие 2023.

321. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и радиусу вписанной окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны сторона $BC$, которую мы обозначим $a$, противолежащий ей угол $\angle A = \alpha$ и радиус вписанной окружности $r$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр), а сама окружность касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $T_a$, $T_b$ и $T_c$ соответственно.

1. Положение инцентра $I$. Инцентр равноудален от всех сторон треугольника на расстояние $r$. Следовательно, расстояние от точки $I$ до прямой, содержащей сторону $BC$, равно $r$. Это означает, что точка $I$ лежит на одной из двух прямых, параллельных $BC$ и отстоящих от нее на расстояние $r$.

2. Угол $\angle BIC$. Точка $I$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Рассмотрим треугольник $BIC$. Углы этого треугольника связаны с углами треугольника $ABC$ следующим образом: $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$. Сумма углов в треугольнике $BIC$ равна $180^\circ$, поэтому:$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$.Так как в треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha$.Подставив это выражение, получим:$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \alpha) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, инцентр $I$ виден из концов отрезка $BC$ под постоянным углом $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под постоянным углом, есть дуга окружности.

Итак, инцентр $I$ должен удовлетворять двум условиям:

• Находиться на прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $r$.
• Находиться на дуге окружности, построенной на отрезке $BC$ как на хорде, из точек которой отрезок $BC$ виден под углом $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Точка $I$ является пересечением этих двух геометрических мест точек. После нахождения точки $I$ и построения вписанной окружности, стороны $AB$ и $AC$ можно построить как касательные к этой окружности, проведенные из точек $B$ и $C$. Их пересечение даст вершину $A$.

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $a$, угол $\alpha$ и отрезок длины $r$.

1. Построим на прямой отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Построим угол $\beta = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$. Для этого построим прямой угол, разделим данный угол $\alpha$ пополам с помощью циркуля и линейки и прибавим полученный угол $\frac{\alpha}{2}$ к прямому углу.
3. Построим геометрическое место точек (ГМТ), из которых отрезок $BC$ виден под углом $\beta$. Это дуга окружности. Для ее построения:
   a. В точке $B$ отложим от луча $BC$ угол $\angle CBD = \beta$ так, чтобы точка $D$ находилась в той же полуплоскости, где мы ищем вершину $A$.
   b. Проведем прямую $l_1$, перпендикулярную лучу $BD$ в точке $B$.
   c. Построим серединный перпендикуляр $l_2$ к отрезку $BC$.
   d. Точка $K$, являющаяся пересечением прямых $l_1$ и $l_2$, будет центром искомой дуги окружности.
   e. Построим дугу $\gamma$ с центром в точке $K$ и радиусом $KB$.
4. Построим ГМТ, удаленных от прямой $BC$ на расстояние $r$. Для этого:
   a. В точках $B$ и $C$ восставим перпендикуляры к прямой $BC$ в нужную полуплоскость.
   b. Отложим на этих перпендикулярах отрезки $BP$ и $CQ$ длиной $r$.
   c. Проведем прямую $m$ через точки $P$ и $Q$. Эта прямая будет параллельна $BC$ и удалена от нее на расстояние $r$.
5. Найдем точку пересечения дуги $\gamma$ и прямой $m$. Обозначим эту точку $I$. Это и будет центр вписанной окружности. (Если пересечений нет, задача не имеет решений. Если точка касания — одно решение. Если две точки пересечения — два решения, дающих конгруэнтные треугольники). Выберем одну из точек пересечения.
6. С центром в точке $I$ построим окружность $\omega$ радиусом $r$. Это вписанная окружность искомого треугольника. Она будет касаться прямой $BC$.
7. Построим стороны $AB$ и $AC$. Они являются касательными к окружности $\omega$, проходящими через точки $B$ и $C$.
   a. Проведем прямую через точку $B$ и касательную к окружности $\omega$ (отличную от прямой $BC$).
   b. Проведем прямую через точку $C$ и касательную к окружности $\omega$ (отличную от прямой $BC$).
   c. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $A$.
8. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

По построенному треугольнику $ABC$:1. Сторона $BC$ имеет заданную длину $a$ по построению.2. Окружность $\omega$ с центром в $I$ и радиусом $r$ вписана в треугольник $ABC$, так как она касается всех трех его сторон по построению. Следовательно, радиус вписанной окружности равен $r$.3. Точка $I$ по построению лежит на дуге, из которой отрезок $BC$ виден под углом $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$. Значит, $\angle BIC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.4. Так как $I$ — центр вписанной окружности, $BI$ и $CI$ — биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно.5. Из $\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$ следует, что $90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$.6. Отсюда $\frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - (90^\circ + \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, и $\angle B + \angle C = 180^\circ - \alpha$.7. Для угла $\angle A$ треугольника $ABC$ получаем: $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.Таким образом, все условия задачи выполнены, и построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если прямая $m$ (параллельная $BC$ на расстоянии $r$) пересекает дугу $\gamma$. Это произойдет, если расстояние $r$ не превышает максимального расстояния от точек дуги $\gamma$ до прямой $BC$. Максимальное расстояние достигается в точке пересечения дуги с серединным перпендикуляром к $BC$.

Пусть $M$ - середина $BC$. Вершина дуги $\gamma$ находится на прямой $KM$. Расстояние от этой вершины до $BC$ равно высоте треугольника $KBC$ из вершины $K$ плюс радиус $KB$, если K ниже BC, или разности, если выше. В нашем построении центр $K$ находится в той же полуплоскости, что и дуга. Расстояние от центра $K$ до прямой $BC$ равно $KM$. В прямоугольном треугольнике $KMB$ угол $\angle MKB = 90^\circ - \angle KBM$. Угол $\angle KBM$ равен $\angle CBD - \angle KBD = \beta - 90^\circ = (90^\circ + \frac{\alpha}{2}) - 90^\circ = \frac{\alpha}{2}$. Тогда $KM = BM \cdot \tan(\angle KBM) = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.Радиус дуги $R_K = KB = \frac{BM}{\cos(\angle KBM)} = \frac{a/2}{\cos(\alpha/2)}$.

Прямая $m$ пересечет дугу, если $r$ будет не больше, чем расстояние от самой дальней точки дуги до прямой $BC$. Эта точка находится на серединном перпендикуляре. Ее расстояние до $BC$ равно $KM + R_K = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) + \frac{a/2}{\cos(\alpha/2)} = \frac{a}{2} \frac{\sin(\alpha/2)+1}{\cos(\alpha/2)} = \frac{a}{2} \tan(45^\circ+\frac{\alpha}{4})$.

Таким образом, задача имеет решение, если выполняется условие $r \le \frac{a}{2} \tan(45^\circ+\frac{\alpha}{4})$.

• Если $r < \frac{a}{2} \tan(45^\circ+\frac{\alpha}{4})$, то прямая $m$ пересекает дугу $\gamma$ в двух точках. Это приводит к двум решениям (двум конгруэнтным треугольникам, симметричным относительно серединного перпендикуляра к $BC$).
• Если $r = \frac{a}{2} \tan(45^\circ+\frac{\alpha}{4})$, то прямая $m$ касается дуги $\gamma$ в одной точке. Это дает одно решение (равнобедренный треугольник).
• Если $r > \frac{a}{2} \tan(45^\circ+\frac{\alpha}{4})$, то пересечений нет, и задача не имеет решений.

Ответ: Треугольник строится на основе нахождения положения центра вписанной окружности как точки пересечения двух геометрических мест точек: прямой, параллельной данной стороне на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности, и дуги окружности, из которой данная сторона видна под углом $90^\circ + \alpha/2$. Алгоритм построения описан выше.

Условие 2015-2022.

321. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к другой стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).