Номер 316, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 316, страница 60.

Условие 2023.

316. Дан отрезок $AB$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что треугольник $AXB$ – прямоугольный.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы треугольник $AXB$ был прямоугольным, один из его углов должен быть равен $90^\circ$. Треугольник $AXB$ имеет три вершины: $A$, $X$ и $B$. Следовательно, прямой угол может быть при любой из этих вершин. Рассмотрим все три возможных случая.

1. Угол при вершине X является прямым ($\angle AXB = 90^\circ$)

Геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под прямым углом, является окружностью, построенной на этом отрезке как на диаметре. Это следует из свойства вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, все точки $X$, удовлетворяющие этому условию, лежат на окружности с диаметром $AB$. Центр этой окружности находится в середине отрезка $AB$. Точки $A$ и $B$ необходимо исключить из этого множества, так как если точка $X$ совпадает с $A$ или $B$, то треугольник вырождается в отрезок.

2. Угол при вершине A является прямым ($\angle XAB = 90^\circ$)

Если угол при вершине $A$ прямой, это означает, что сторона $AX$ перпендикулярна стороне $AB$. ГМТ $X$, для которых отрезок $AX$ перпендикулярен отрезку $AB$ в точке $A$, — это прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная прямой, содержащей отрезок $AB$. Точку $A$ необходимо исключить из этого ГМТ, так как при совпадении $X$ с $A$ треугольник не образуется.

3. Угол при вершине B является прямым ($\angle XBA = 90^\circ$)

Аналогично предыдущему случаю, если угол при вершине $B$ прямой, то сторона $BX$ перпендикулярна стороне $AB$. ГМТ $X$ в этом случае — это прямая, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная прямой $AB$. Точка $B$ также должна быть исключена из этого множества.

Искомое геометрическое место точек является объединением множеств, найденных в каждом из трех случаев.

Ответ: Искомое геометрическое место точек $X$ — это объединение трех фигур:
1. Окружности с диаметром $AB$ (за исключением самих точек $A$ и $B$).
2. Прямой, проходящей через точку $A$ перпендикулярно отрезку $AB$ (за исключением точки $A$).
3. Прямой, проходящей через точку $B$ перпендикулярно отрезку $AB$ (за исключением точки $B$).

Условие 2015-2022.

316. Дан отрезок $AB$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что треугольник $AXB$ – прямоугольный.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).