Номер 317, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 317, страница 60.

Условие 2023.

317. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Точка $O$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $DO = DB = DC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $\angle A, \angle B, \angle C$ — углы треугольника $ABC$ при вершинах $A, B, C$ соответственно.

Докажем, что $DB = DC$
Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$, то $\angle BAD = \angle CAD$. Эти углы являются вписанными в описанную окружность треугольника $ABC$. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, следовательно, дуга $BD$ равна дуге $CD$. В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому $DB = DC$.

Докажем, что $DO = DB$
Для этого докажем, что треугольник $DBO$ является равнобедренным, показав равенство углов $\angle DBO$ и $\angle DOB$.
Выразим угол $\angle DBO$ через углы треугольника $ABC$:
$\angle DBO = \angle DBC + \angle CBO$.
Точка $O$ — инцентр (центр вписанной окружности), поэтому $BO$ — биссектриса угла $\angle B$, и $\angle CBO = \frac{1}{2}\angle B$.
Углы $\angle DBC$ и $\angle DAC$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $DC$. Следовательно, $\angle DBC = \angle DAC$.
Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle A$. Отсюда $\angle DBC = \frac{1}{2}\angle A$.
Таким образом, $\angle DBO = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$.

Теперь найдем угол $\angle DOB$. Точка $O$ (инцентр) лежит на биссектрисе $AD$, поэтому точки $A, O, D$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольник $AOB$. Угол $\angle DOB$ является внешним углом этого треугольника при вершине $O$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle DOB = \angle OAB + \angle OBA$.
Поскольку $O$ — инцентр, $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Значит, $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.
Следовательно, $\angle DOB = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$.

Мы получили, что $\angle DBO = \angle DOB = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$. Так как углы при основании $BO$ треугольника $DBO$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, и $DO = DB$.

Заключение
Мы доказали, что $DB = DC$ и $DO = DB$. Из этих двух равенств следует, что $DO = DB = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DO = DB = DC$ доказано.

Условие 2015-2022.

317. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Точка $O$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $DO = DB = DC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).