Номер 315, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 315, страница 60.

Условие 2023.

315. Постройте параллелограмм по углу и двум диагоналям.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения параллелограмма по заданному углу $\alpha$ и двум диагоналям $d_1$ и $d_2$ воспользуемся методом, основанным на построении треугольника, который является частью искомого параллелограмма.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, в котором $\angle BAD = \alpha$, длина диагонали $AC = d_1$, а длина диагонали $BD = d_2$. Диагонали параллелограмма точкой пересечения $O$ делятся пополам, следовательно, $AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны:

• длина стороны $BD = d_2$;
• величина противолежащего угла $\angle BAD = \alpha$;
• длина медианы $AO$, проведенной к стороне $BD$, так как $O$ — середина $BD$, и $AO = d_1/2$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABD$ по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к этой стороне. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Находиться на расстоянии $d_1/2$ от середины $O$ отрезка $BD$. Геометрическое место таких точек — окружность с центром $O$ и радиусом $d_1/2$.
2. Быть вершиной угла $\alpha$, опирающегося на отрезок $BD$. Геометрическое место таких точек — дуга окружности.

Точка $A$ будет найдена как пересечение этих двух геометрических мест точек. После построения треугольника $ABD$ легко достроить его до параллелограмма $ABCD$.

Построение

1. На прямой отложим отрезок $BD$ длиной $d_2$.
2. С помощью циркуля и линейки найдем середину $O$ отрезка $BD$.
3. Построим геометрическое место точек, из которых отрезок $BD$ виден под углом $\alpha$. Для этого:
   a. В точке $B$ построим луч $BM$ так, чтобы $\angle DBM = \alpha$.
   b. Проведем прямую $l$ через точку $B$, перпендикулярную лучу $BM$.
   c. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $BD$.
   d. Точка $P$, в которой пересекаются прямые $l$ и $m$, является центром искомой дуги.
   e. Построим дугу окружности с центром в точке $P$ и радиусом $PB$.
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = d_1/2$.
5. Точка (или точки) пересечения построенной дуги и окружности является вершиной $A$. Если решений два, выберем одно из них.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $D$, получив треугольник $ABD$.
7. Для нахождения четвертой вершины $C$ проведем луч $AO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OC$, равный $AO$.
8. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $O$ — середина $BD$. Также по построению $AO = OC$, значит $O$ — середина $AC$. Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABCD$ — параллелограмм.

Длина диагонали $BD$ равна $d_2$ по построению. Длина диагонали $AC = AO + OC = d_1/2 + d_1/2 = d_1$. Угол $\angle BAD$ равен $\alpha$, так как точка $A$ лежит на соответствующем геометрическом месте точек.

Следовательно, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым параллелограммом.

Условие 2015-2022.

315. Постройте параллелограмм по углу и двум диагоналям.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).