Номер 319, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 319, страница 60.

Условие 2023.

319. На рисунке 101 изображены две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$. Постройте прямую $l$, которая касается этих окружностей так, что точки касания лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$ (такую прямую $l$ называют общей внешней касательной двух данных окружностей).

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения общей внешней касательной к двум окружностям воспользуемся методом вспомогательной окружности. Пусть даны две окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. Для определенности будем считать, что $R_1 \ge R_2$.

Анализ

Предположим, что искомая прямая $l$ построена. Пусть $A$ и $B$ — точки касания прямой $l$ с окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. По свойству касательной, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp l$ и $O_2B \perp l$. Из этого следует, что $O_1A \parallel O_2B$.

Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную $l$. Эта прямая пересечет радиус $O_1A$ (или его продолжение) в некоторой точке $C$. Четырехугольник $CАBO_2$ является прямоугольником, так как у него все углы прямые. Следовательно, $AC = O_2B = R_2$.

Рассмотрим отрезок $O_1C$. Его длина равна $O_1A - AC = R_1 - R_2$. Также, поскольку $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$, то $O_2C \perp O_1A$. Это означает, что прямая $O_2C$ является касательной к окружности с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.

Таким образом, задача сводится к построению касательной из точки $O_2$ к вспомогательной окружности с центром $O_1$ и радиусом $R_1 - R_2$.

Построение

1. Строим отрезок, равный разности радиусов $R_1 - R_2$. Для этого на радиусе большей окружности откладываем от точки на окружности отрезок, равный радиусу меньшей окружности.
2. Строим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.
3. Соединяем центры $O_1$ и $O_2$ отрезком. Находим середину этого отрезка — точку $M$.
4. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $MO_1$. Эта окружность пересечет вспомогательную окружность $\omega_3$ в двух точках. Выберем одну из них и назовем ее $C$.
5. Проводим луч $O_1C$. Точка пересечения этого луча с исходной окружностью $\omega_1$ будет искомой точкой касания $A$.
6. Через точку $O_2$ проводим прямую, параллельную радиусу $O_1A$, до пересечения с окружностью $\omega_2$ в той же полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$, в которой лежит точка $A$. Точка пересечения будет второй искомой точкой касания $B$.
7. Проводим прямую через точки $A$ и $B$. Эта прямая $l$ и будет искомой общей внешней касательной.

Доказательство

По построению, точка $C$ лежит на окружности с диаметром $O_1O_2$. Следовательно, треугольник $\triangle O_1CO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $O_1C \perp O_2C$.

Луч $O_1C$ содержит радиус $O_1A$. Значит, $O_1A \perp O_2C$.

Рассмотрим четырехугольник $ACO_2B$. Мы построили $O_2B \parallel O_1A$. Длина отрезка $AC$ равна $O_1A - O_1C = R_1 - (R_1 - R_2) = R_2$. Длина радиуса $O_2B$ также равна $R_2$. Таким образом, в четырехугольнике $ACO_2B$ стороны $AC$ и $O_2B$ параллельны и равны. Следовательно, $ACO_2B$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AB \parallel O_2C$.

Так как $O_1A \perp O_2C$ и $AB \parallel O_2C$, то $O_1A \perp AB$. Это доказывает, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_1$ в точке $A$.

Так как $O_1A \parallel O_2B$ и $O_1A \perp AB$, то $O_2B \perp AB$. Это доказывает, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_2$ в точке $B$.

Точки касания $A$ и $B$ по построению лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$. Таким образом, построенная прямая $l=AB$ является общей внешней касательной.

Ответ: Прямая $l$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой общей внешней касательной к двум данным окружностям.

Условие 2015-2022.

319. На рисунке 101 изображены две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$. Постройте прямую $l$, которая касается этих окружностей так, что точки касания лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$ (такую прямую $l$ называют внешней общей касательной двух данных окружностей).

Рис. 101

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).