Номер 320, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 320, страница 60.

Условие 2023.

320. Постройте прямую $l$, которая касается окружностей, изображённых на рисунке 101 так, что точки касания лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $O_1O_2$ (такую прямую $l$ называют общей внутренней касательной двух данных окружностей).

Решение 6 (2023).

Для построения общей внутренней касательной к двум окружностям воспользуемся методом вспомогательной окружности. Пусть даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_1$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $r_2$.

Анализ

Пусть $l$ — искомая общая внутренняя касательная, а $T_1$ и $T_2$ — точки касания с окружностями с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. По свойству касательной, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1T_1 \perp l$ и $O_2T_2 \perp l$. Из этого следует, что радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ параллельны друг другу ($O_1T_1 \parallel O_2T_2$).

Построим вспомогательную фигуру. Проведем через точку $O_1$ прямую, параллельную касательной $l$. Продолжим радиус $O_2T_2$ за точку $T_2$ до пересечения с этой прямой в точке $A$. Рассмотрим четырехугольник $T_1O_1AT_2$. В нем $O_1A \parallel T_1T_2$ и $O_1T_1 \parallel AT_2$. Так как $O_1T_1 \perp l$ и $T_1T_2$ лежит на $l$, то $\angle O_1T_1T_2 = 90^\circ$. Следовательно, четырехугольник $T_1O_1AT_2$ — прямоугольник. Отсюда $O_1T_1 = AT_2 = r_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Угол $\angle O_1AO_2$ прямой, так как $O_1A \parallel l$ и $O_2A \perp l$. Таким образом, $\triangle O_1AO_2$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $O_1O_2$. Длина катета $O_2A$ равна сумме отрезков $O_2T_2$ и $T_2A$, то есть $O_2A = O_2T_2 + T_2A = r_2 + r_1$.

Таким образом, задача сводится к построению точки $A$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Она лежит на окружности с центром в $O_2$ и радиусом $R = r_1 + r_2$.

2. Она является вершиной прямого угла в $\triangle O_1AO_2$ с гипотенузой $O_1O_2$. Геометрическим местом таких точек является окружность, построенная на отрезке $O_1O_2$ как на диаметре.

Найдя точку $A$, мы можем построить прямую $O_2A$, которая пересечет вторую окружность в точке касания $T_2$. Искомая касательная $l$ будет проходить через точку $T_2$ параллельно прямой $O_1A$.

Построение

1. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом, равным сумме радиусов данных окружностей: $R = r_1 + r_2$.

2. Соединяем центры $O_1$ и $O_2$ отрезком.

3. Находим середину $M$ отрезка $O_1O_2$ и строим окружность с центром в точке $M$, для которой отрезок $O_1O_2$ является диаметром.

4. Окружности, построенные в шагах 1 и 3, пересекутся в двух точках (если $O_1O_2 > r_1 + r_2$). Обозначим одну из этих точек пересечения буквой $A$.

5. Проводим прямую через точки $O_2$ и $A$. Эта прямая пересечет исходную окружность (с центром $O_2$ и радиусом $r_2$) в точке касания $T_2$.

6. Через точку $T_2$ проводим прямую $l$, параллельную отрезку $O_1A$.

Прямая $l$ является искомой общей внутренней касательной.

Доказательство

Нужно доказать, что построенная прямая $l$ касается обеих окружностей.

1. Касание с окружностью с центром $O_2$. По построению, точка $A$ лежит на окружности с диаметром $O_1O_2$. Следовательно, угол $\angle O_1AO_2$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$. Это значит, что $O_1A \perp O_2A$. Так как мы построили $l \parallel O_1A$, то $l \perp O_2A$. Линия $O_2A$ проходит через центр $O_2$ и точку $T_2$ на окружности, значит, $O_2T_2$ — это радиус. Прямая $l$, проходящая через точку $T_2$ и перпендикулярная радиусу $O_2T_2$, является касательной к окружности в точке $T_2$.

2. Касание с окружностью с центром $O_1$. Рассмотрим четырехугольник $O_1KT_2A$, где $K$ — точка на прямой $l$ такая, что $O_1K \perp l$. Так как $l \parallel O_1A$, то $O_1K$ — это расстояние между параллельными прямыми $l$ и $O_1A$. В прямоугольнике, образованном этими параллельными прямыми и перпендикулярами $AK'$ (где $K'$ на $l$) и $O_2T_2$, расстояние между ними равно $AT_2$. По построению, точка $A$ лежит на вспомогательной окружности с центром $O_2$ и радиусом $r_1+r_2$, значит $O_2A = r_1+r_2$. Точка $T_2$ лежит на исходной окружности, $O_2T_2 = r_2$. Так как точки $O_2$, $T_2$, $A$ лежат на одной прямой, то расстояние $AT_2 = O_2A - O_2T_2 = (r_1+r_2) - r_2 = r_1$. Таким образом, расстояние от центра $O_1$ до прямой $l$ равно $r_1$. Это означает, что прямая $l$ касается окружности с центром $O_1$.

3. Расположение точек касания. Прямая $l$ пересекает линию центров $O_1O_2$ в некоторой точке $P$. Прямоугольные треугольники $\triangle PO_1T_1$ и $\triangle PO_2T_2$ подобны (по острому углу, так как углы при вершине $P$ вертикальные). Из подобия следует, что точки $T_1$ и $T_2$ лежат по разные стороны от прямой $O_1O_2$. Следовательно, построенная касательная является внутренней.

Ответ: Прямая $l$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой общей внутренней касательной к двум данным окружностям.

Условие 2015-2022.

320. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и радиусу вписанной окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).