Номер 313, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 313, страница 59.

Условие 2023.

313. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к данной стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC$ равна данной стороне $a$, угол $\angle BAC$ равен данному углу $\alpha$, и медиана $AM$, проведенная к стороне $BC$, равна данной медиане $m_a$.

Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. Она удалена от середины $M$ стороны $BC$ на расстояние, равное длине медианы $m_a$. Геометрическим местом таких точек является окружность с центром в точке $M$ и радиусом $m_a$.
2. Из вершины $A$ отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Геометрическим местом таких точек (в одной полуплоскости относительно прямой $BC$) является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.

Следовательно, вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест. Построение треугольника сводится к нахождению этой точки.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько шагов:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, длина которого равна данной стороне $a$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Точка его пересечения с $BC$ будет серединой $M$.
3. Построим геометрическое место точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:
   • Из точки $B$ в одной из полуплоскостей относительно прямой $BC$ проведем луч $BD$ так, чтобы $\angle CBD = \alpha$.
   • В точке $B$ восставим перпендикуляр $l$ к лучу $BD$.
   • Найдем точку $O$ — пересечение перпендикуляра $l$ и серединного перпендикуляра к $BC$. Эта точка $O$ является центром искомой дуги (согласно свойству угла между касательной и хордой).
   • Проведем дугу окружности с центром в $O$ и радиусом $OB$ в той полуплоскости относительно $BC$, где не лежит луч $BD$. Эта дуга является первым искомым геометрическим местом точек для вершины $A$.
4. Построим второе геометрическое место точек для вершины $A$ — окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине медианы $m_a$.
5. Точка (или точки) пересечения построенной дуги и окружности является искомой вершиной $A$. Обозначим одну из них буквой $A$.
6. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Сторона $BC$ по построению равна $a$.
• Точка $M$ является серединой $BC$, следовательно, отрезок $AM$ — медиана. Длина $AM$ по построению равна $m_a$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $M$ и радиусом $m_a$.
• Вершина $A$ лежит на дуге окружности, построенной так, что любой вписанный угол, опирающийся на хорду $BC$, равен $\alpha$. Следовательно, $\angle BAC = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача может иметь разное количество решений в зависимости от соотношения длин $a$, $m_a$ и величины угла $\alpha$.

• Если окружность с центром $M$ (радиуса $m_a$) пересекает дугу в двух точках, то задача имеет два решения. Полученные треугольники будут равны между собой.
• Если окружность касается дуги в одной точке, то задача имеет одно решение (в этом случае треугольник будет равнобедренным).
• Если окружность и дуга не имеют общих точек, то задача не имеет решений.

Условие существования решения зависит от того, находится ли значение $m_a$ между минимальным и максимальным расстоянием от центра $M$ до точек дуги. Максимальное расстояние — это $MB = a/2$. В зависимости от того, является ли угол $\alpha$ острым, прямым или тупым, возможны разные случаи. Например, для острого угла $\alpha$ решение существует, если медиана $m_a$ не превышает половины стороны $a$ ($m_a \le a/2$) и не меньше высоты треугольника, построенного на дуге. Если $\alpha=90^\circ$, решение существует только при $m_a = a/2$, и таких решений бесконечное множество.

Ответ:

Построение искомого треугольника основано на методе геометрических мест. Вершина $A$ находится как пересечение двух множеств точек: 1) дуги окружности, на которой отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$; 2) окружности с центром в середине $BC$ и радиусом, равным длине медианы. Подробный алгоритм построения описан выше.

Условие 2015-2022.

313. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к данной стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).