Номер 310, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 310, страница 59.

Условие 2023.

310. К окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведена в точке $B$ касательная, пересекающая прямую $AC$ в точке $D$. Отрезок $BM$ – биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $BD = MD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы доказать, что $BD = MD$, мы докажем, что треугольник $BDM$ является равнобедренным с основанием $BM$. Для этого необходимо показать, что углы при основании этого треугольника равны, то есть $\angle DBM = \angle DMB$.

1. Найдём величину угла $\angle DBM$.

По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $BD$ и хордой $BC$, проведенной через точку касания $B$, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Следовательно, $\angle DBC = \angle BAC$.

По условию задачи, отрезок $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABM = \angle CBM$. Обозначим величину этих углов через $\beta$.

Угол $\angle DBM$ можно представить как сумму углов $\angle DBC$ и $\angle CBM$ (в случае, если точка C лежит между A и D). Таким образом:

$\angle DBM = \angle DBC + \angle CBM = \angle BAC + \beta$.

2. Найдём величину угла $\angle DMB$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Угол $\angle DMB$ является внешним углом этого треугольника при вершине $M$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$\angle DMB = \angle MAB + \angle ABM$.

Поскольку $\angle MAB$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$, а $\angle ABM = \beta$, мы получаем:

$\angle DMB = \angle BAC + \beta$.

3. Сравним углы и сделаем вывод.

Мы получили, что $\angle DBM = \angle BAC + \beta$ и $\angle DMB = \angle BAC + \beta$.

Следовательно, $\angle DBM = \angle DMB$.

Так как в треугольнике $BDM$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. В нашем случае это стороны $BD$ (напротив $\angle DMB$) и $MD$ (напротив $\angle DBM$).

Таким образом, $BD = MD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BD = MD$ доказано.

Условие 2015-2022.

310. К окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведена в точке $B$ касательная, пересекающая прямую $AC$ в точке $D$. Отрезок $BM$ – биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $BD = MD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).