Номер 289, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 289, страница 57.

Условие 2023.

289. Концы хорды $AB$ делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 7$. Под какими углами видна эта хорда из точек $M$ и $K$ (рис. 95)?

Рис. 95

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $3:7$. Полная окружность составляет $360^\circ$.

Пусть градусная мера меньшей дуги (согласно рисунку, это дуга $AKB$) равна $3x$, а градусная мера большей дуги (дуга $AMB$) равна $7x$. Сумма градусных мер этих дуг равна градусной мере всей окружности, поэтому можно составить уравнение:

$3x + 7x = 360^\circ$

$10x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• Градусная мера меньшей дуги $AKB$ равна $3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
• Градусная мера большей дуги $AMB$ равна $7x = 7 \cdot 36^\circ = 252^\circ$.

Угол, под которым хорда видна из точки на окружности, — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем угол, под которым хорда видна из точки M. Точка M лежит на большей дуге, поэтому вписанный угол $\angle AMB$ опирается на меньшую дугу $AKB$. Его величина равна:

$\angle AMB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AKB = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$.

Найдем угол, под которым хорда видна из точки K. Точка K лежит на меньшей дуге, поэтому вписанный угол $\angle AKB$ опирается на большую дугу $AMB$. Его величина равна:

$\angle AKB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AMB = \frac{252^\circ}{2} = 126^\circ$.

Для проверки можно использовать свойство вписанного четырехугольника $AMBK$: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

$\angle AMB + \angle AKB = 54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$.

Расчеты верны.

Ответ: хорда видна из точки M под углом $54^\circ$, а из точки K — под углом $126^\circ$.

Условие 2015-2022.

289. Концы хорды $AB$ делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 7$. Под какими углами видна эта хорда из точек $M$ и $K$ (рис. 95)?

Рис. 95

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).