Номер 292, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 292, страница 58.

Условие 2023.

292. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\cup AB : \cup BC : \cup AC = 1 : 2 : 3$. Найдите углы треугольника ABC.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Точки A, B и C делят окружность на три дуги, сумма градусных мер которых равна $360^\circ$. Согласно условию, отношение длин дуг $◡AB : ◡BC : ◡AC = 1 : 2 : 3$.

Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг равны:$m(◡AB) = x$, $m(◡BC) = 2x$ и $m(◡AC) = 3x$.

Составим и решим уравнение, используя тот факт, что сумма дуг составляет полную окружность:
$m(◡AB) + m(◡BC) + m(◡AC) = 360^\circ$
$x + 2x + 3x = 360^\circ$
$6x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Следовательно, градусные меры дуг:
$m(◡AB) = 60^\circ$
$m(◡BC) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
$m(◡AC) = 3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Угол $∠A$ (или $∠BAC$) опирается на дугу $◡BC$, поэтому его величина равна:
$∠A = \frac{1}{2} m(◡BC) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

Угол $∠B$ (или $∠ABC$) опирается на дугу $◡AC$, поэтому его величина равна:
$∠B = \frac{1}{2} m(◡AC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол $∠C$ (или $∠BCA$) опирается на дугу $◡AB$, поэтому его величина равна:
$∠C = \frac{1}{2} m(◡AB) = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Условие 2015-2022.

292. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\cup AB : \cup BC : \cup AC = 1 : 2 : 3$. Найдите углы треугольника ABC.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).