Номер 4, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 4, страница 16.

Условие 2023.

4. Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?

Решение 6 (2023).

Основным свойством диагоналей параллелограмма является то, что они пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства рассмотрим треугольники $△AOB$ и $△COD$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по свойству противолежащих сторон параллелограмма ($AB = CD$).

2. Угол $∠BAC$ (или $∠OAB$) равен углу $∠ACD$ (или $∠OCD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

3. Угол $∠ABD$ (или $∠OBA$) равен углу $∠CDB$ (или $∠ODC$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.

Следовательно, треугольник $△AOB$ равен треугольнику $△COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, то есть сторон: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Таким образом, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Условие 2015-2022.

4. Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?