Номер 3, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 16.

Условие 2023.

3. Каким свойством обладают противолежащие углы параллелограмма?

Решение 6 (2023).

Основное свойство противолежащих углов параллелограмма заключается в том, что они равны.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно параллельны, то есть $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$.

Проведем диагональ $AC$. Она делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти два треугольника:

1. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$.
2. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие против общей стороны $AC$: $\angle B = \angle D$.

Аналогично, если провести диагональ $BD$, можно доказать равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Из их равенства будет следовать, что $\angle A = \angle C$.

Таким образом, мы доказали, что противолежащие углы параллелограмма равны.

Ответ: Противолежащие углы параллелограмма равны.

Условие 2015-2022.

3. Каким свойством обладают противолежащие углы параллелограмма?