Номер 2, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 2, страница 16.

Условие 2023.

2. Каким свойством обладают противоположные стороны параллелограмма?

Решение 6 (2023).

Противолежащие стороны параллелограмма обладают двумя основными свойствами: они попарно параллельны и попарно равны по длине.

Параллельность противолежащих сторон

Это свойство следует непосредственно из определения параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Если рассмотреть параллелограмм $ABCD$, то это означает, что сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ (записывается как $AB \parallel CD$), а сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ (записывается как $BC \parallel AD$).

Равенство противолежащих сторон

Помимо параллельности, противолежащие стороны параллелограмма также равны друг другу по длине. То есть, для параллелограмма $ABCD$ выполняются равенства: $AB = CD$ и $BC = AD$. Это свойство можно строго доказать.

Доказательство:
1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. Она разделит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
2. Так как $BC \parallel AD$ (по определению параллелограмма), то углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
3. Аналогично, так как $AB \parallel CD$, то углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
4. Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
5. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
6. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AB = CD$ и $BC = DA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Противолежащие стороны параллелограмма попарно параллельны и попарно равны.

Условие 2015-2022.

2. Каким свойством обладают противоположные стороны параллелограмма?