Номер 36, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Глава 1. Четырёхугольники - номер 36, страница 16.

Условие 2023.

36. На рисунке 25 изображён параллелограмм $ABCD$. Сделайте такой рисунок в тетради. Проведите из точек $B$ и $M$ высоты параллелограмма к стороне $AD$, а из точки $K$ – высоту к стороне $AB$.

Рис. 25

а

б

в

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Высотой, проведенной из некоторой точки к стороне фигуры, называется перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую, содержащую данную сторону. Основание высоты — это точка пересечения высоты с этой прямой.

а)

Рассмотрим параллелограмм, изображенный на рисунке 25, а, где угол A — острый.

• Высоты из точек B и M к стороне AD:
  Проведем перпендикуляр из точки B к стороне AD. Обозначим его основание точкой H₁. Так как угол A — острый, точка H₁ будет лежать на отрезке AD. Отрезок BH₁ — искомая высота ($$BH_1 \perp AD$$).
  Аналогично, так как точка M лежит на стороне BC, параллельной AD ($$BC \parallel AD$$), проведем перпендикуляр из точки M к стороне AD. Обозначим его основание точкой H₂. Точка H₂ также будет лежать на отрезке AD. Отрезок MH₂ — искомая высота ($$MH_2 \perp AD$$).
• Высота из точки K к стороне AB:
  Точка K лежит на стороне CD. Чтобы провести высоту к стороне AB, нужно опустить перпендикуляр из точки K на прямую, содержащую сторону AB. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°. Так как угол A — острый, то угол B — тупой. Поэтому основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую AB, будет лежать на продолжении стороны AB за вершину B. Обозначим основание перпендикуляра точкой H₃. Отрезок KH₃ — искомая высота ($$KH_3 \perp AB$$).

Ответ: В параллелограмме "а" высоты из точек B и M к стороне AD являются отрезками внутри фигуры (BH₁ и MH₂). Высота из точки K к стороне AB опускается на продолжение стороны AB за точку B (отрезок KH₃).

б)

Рассмотрим параллелограмм, изображенный на рисунке 25, б, где угол A — тупой.

• Высоты из точек B и M к стороне AD:
  Проведем перпендикуляр из точки B к прямой, содержащей сторону AD. Обозначим его основание точкой H₁. Так как угол A — тупой, точка H₁ будет лежать на продолжении стороны AD за точку A. Отрезок BH₁ — искомая высота ($$BH_1 \perp AD$$).
  Аналогично, проведем перпендикуляр из точки M (лежащей на BC) к прямой AD. Его основание, точка H₂, также будет лежать на продолжении стороны AD за точку A. Отрезок MH₂ — искомая высота ($$MH_2 \perp AD$$).
• Высота из точки K к стороне AB:
  Точка K лежит на стороне CD. Проведем перпендикуляр из точки K на прямую AB. Так как угол A — тупой, то смежный с ним угол B — острый. Поэтому основание перпендикуляра, точка H₃, будет лежать на отрезке AB. Отрезок KH₃ — искомая высота ($$KH_3 \perp AB$$).

Ответ: В параллелограмме "б" высоты из точек B и M к стороне AD опускаются на продолжение стороны AD за точку A (отрезки BH₁ и MH₂). Высота из точки K к стороне AB лежит внутри параллелограмма, ее основание H₃ находится на отрезке AB.

в)

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке 25, в (ромб, который является частным случаем параллелограмма).

• Высоты из точек B и M к стороне AD:
  На рисунке угол A — острый. Проводим перпендикуляр из вершины B к стороне AD. Его основание, точка H₁, будет лежать на отрезке AD. Отрезок BH₁ — искомая высота ($$BH_1 \perp AD$$).
  Точка M лежит на стороне BC, параллельной AD. Проводим перпендикуляр из M к прямой AD. Его основание, точка H₂, будет лежать на отрезке AD. Отрезок MH₂ — искомая высота ($$MH_2 \perp AD$$).
• Высота из точки K к стороне AB:
  Согласно рисунку и условию, точка K лежит на стороне AB. Высота из точки к прямой, на которой эта точка уже лежит, является вырожденным случаем. Перпендикуляр из точки K к прямой AB — это сама точка K, а длина такой высоты равна нулю. Поэтому построить невырожденный отрезок-высоту в данном случае невозможно.

Ответ: В фигуре "в" высоты из точек B и M к стороне AD проводятся к отрезку AD. Построить невырожденную высоту из точки K к стороне AB, на которой она лежит, невозможно, так как длина такой высоты равна нулю.

Условие 2015-2022.

36. На рисунке 25 изображён параллелограмм $ABCD$. Сделайте такой рисунок в тетради. Проведите из точек $B$ и $M$ высоты параллелограмма к стороне $AD$, а из точки $K$ — высоту к стороне $AB$.

Рис. 25

a

$A$ $B$ $C$ $D$ $K$ $M$

б

$A$ $B$ $C$ $D$ $K$ $M$

в

$A$ $B$ $C$ $D$ $K$ $M$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).