Номер 35, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 35, страница 13.

Условие 2023.

35. Белая плоскость произвольно забрызгана чёрной краской. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длиной $1 \text{ м}$, концы которого закрашены либо белой, либо чёрной краской.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что такого отрезка не существует. Это означает, что для любого отрезка на плоскости длиной 1 м его концы должны быть окрашены в разные цвета (один — в белый, другой — в чёрный).

Теперь рассмотрим на этой плоскости равносторонний треугольник $ABC$, длина стороны которого равна 1 м. Таким образом, $AB = BC = CA = 1$ м.

Каждая из вершин этого треугольника ($A$, $B$ и $C$) может быть либо белой, либо чёрной.

Допустим, вершина $A$ окрашена в белый цвет.

• Рассмотрим отрезок $AB$. Его длина равна 1 м. Поскольку точка $A$ белая, согласно нашему предположению, точка $B$ должна быть чёрной.
• Рассмотрим отрезок $AC$. Его длина также равна 1 м. Поскольку точка $A$ белая, точка $C$ тоже должна быть чёрной.

Таким образом, мы приходим к выводу, что обе вершины, $B$ и $C$, окрашены в чёрный цвет.

А теперь рассмотрим отрезок $BC$. Его длина равна 1 м, и мы установили, что обе его конечные точки ($B$ и $C$) — чёрные. Это напрямую противоречит нашему первоначальному предположению о том, что концы любого отрезка длиной 1 м должны быть разного цвета.

Аналогичное противоречие возникнет, если мы изначально предположим, что вершина $A$ — чёрная. В этом случае, по той же логике, вершины $B$ и $C$ должны быть белыми, и тогда отрезок $BC$ будет иметь концы одного (белого) цвета.

Поскольку наше исходное предположение в обоих случаях приводит к противоречию, оно неверно. Следовательно, утверждение задачи истинно.

Ответ: На плоскости обязательно найдётся отрезок длиной 1 м, концы которого закрашены в один и тот же цвет, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

35. Белая плоскость произвольно забрызгана чёрной краской. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длиной 1 м, концы которого закрашены одним цветом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).