Номер 29, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 29, страница 12.

Условие 2023.

29. Постройте четырёхугольник $ABCD$ по углам $A$ и $B$, сторонам $AB$ и $BC$ и сумме сторон $AD$ и $CD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть искомый четырехугольник $ABCD$ построен. Нам даны углы $\angle A$ и $\angle B$, длины сторон $AB$ и $BC$, и сумма длин сторон $AD$ и $CD$, которую обозначим как $S = AD + CD$.

Ключевая идея для решения этой задачи — использовать данную сумму сторон. Для этого на луче $AD$ отложим точку $E$ так, чтобы отрезок $AE$ был равен этой сумме: $AE = S = AD + CD$. Из этого следует, что $DE = AE - AD = (AD + CD) - AD = CD$.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Поскольку $DE = CD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике вершина, противолежащая основанию (в данном случае точка $D$), лежит на серединном перпендикуляре к основанию.

Таким образом, точка $D$ должна удовлетворять двум условиям:
1. Она лежит на луче, выходящем из точки $A$ под углом $\angle A$ к отрезку $AB$ (т.е. на луче $AE$).
2. Она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CE$.

Точка $D$ является точкой пересечения этих двух линий. Все остальные элементы (точки $A, B, C$ и $E$) могут быть построены по данным задачи. Точка $A$ и $B$ определяются стороной $AB$. Точка $C$ определяется углом $\angle B$ и стороной $BC$. Точка $E$ определяется углом $\angle A$ и суммой длин $S$. Это позволяет нам составить план построения.

Построение

1. Построим отрезок $AB$ заданной длины.
2. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный данному $\angle A$. Получим луч $l_A$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости построим угол, равный данному $\angle B$. Получим луч $l_B$.
4. На луче $l_B$ отложим от точки $B$ отрезок $BC$, равный заданной длине.
5. На луче $l_A$ отложим от точки $A$ отрезок $AE$, длина которого равна заданной сумме $AD + CD$.
6. Соединим точки $C$ и $E$ отрезком.
7. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $CE$.
8. Точка пересечения прямой $m$ и луча $l_A$ (который содержит отрезок $AE$) является искомой вершиной $D$.
9. Соединим точки $C$ и $D$.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
- Сторона $AB$, сторона $BC$, угол $\angle A$ (как $\angle EAB$) и угол $\angle B$ (как $\angle CBA$) построены в соответствии с заданными величинами.
- Точка $D$ по построению лежит на луче $l_A$, поэтому $\angle DAB = \angle A$.
- Точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $CE$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $DC = DE$.
- Точка $D$ также лежит на отрезке $AE$. Поэтому верно равенство $AE = AD + DE$.
- Заменив $DE$ на равный ему отрезок $DC$, получаем $AE = AD + DC$.
- По построению (шаг 5), длина отрезка $AE$ была выбрана равной заданной сумме сторон $AD$ и $CD$.
Таким образом, все условия задачи выполнены, и четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Ответ: Искомый четырехугольник строится путем нахождения вершины $D$ как точки пересечения луча, выходящего из $A$ под заданным углом $\angle A$, и серединного перпендикуляра к отрезку $CE$, где $C$ — вершина, построенная по стороне $BC$ и углу $\angle B$, а $E$ — точка на луче из $A$, такая что $AE$ равно заданной сумме длин сторон $AD$ и $CD$.

Условие 2015-2022.

29. Постройте четырёхугольник $ABCD$ по углам $A$ и $B$, сторонам $AB$ и $BC$ и сумме сторон $AD$ и $CD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).