Номер 26, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 26, страница 12.

Условие 2023.

26. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одному из углов.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения четырёхугольника по его четырём сторонам $a, b, c, d$ и одному углу $\alpha$ необходимо уточнить, между какими сторонами находится данный угол. Предположим, что дан угол $\alpha$, расположенный между сторонами $a$ и $d$. Требуется построить четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$ и углом $\angle A = \alpha$.

Анализ

Построение задачи сводится к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними, а затем нахождению четвёртой вершины. Зная стороны $AB=a$, $AD=d$ и угол $\angle A = \alpha$ между ними, мы можем однозначно построить треугольник $ABD$. Таким образом, мы определим положение трёх вершин $A, B, D$ и длину диагонали $BD$. Четвёртая вершина $C$ должна находиться на расстоянии $b$ от вершины $B$ и на расстоянии $c$ от вершины $D$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки, является окружность. Следовательно, вершина $C$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в точке $B$ и радиусом $b$, и другой с центром в точке $D$ и радиусом $c$.

Построение

1. Строим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначаем его вершину буквой $A$.

2. На одной стороне угла откладываем от вершины $A$ отрезок $AB$, равный по длине стороне $a$.

3. На другой стороне угла откладываем от вершины $A$ отрезок $AD$, равный по длине стороне $d$.

4. Из точки $B$ как из центра проводим окружность (или дугу) радиусом, равным длине стороны $b$.

5. Из точки $D$ как из центра проводим окружность (или дугу) радиусом, равным длине стороны $c$.

6. Точку (или одну из двух точек) пересечения этих окружностей обозначаем буквой $C$.

7. Последовательно соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым.

Доказательство

В построенном четырёхугольнике $ABCD$ по построению: сторона $AB=a$, сторона $AD=d$, и угол $\angle DAB = \alpha$. Вершина $C$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $b$, следовательно, $BC=b$. Вершина $C$ также лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $c$, следовательно, $CD=c$. Таким образом, построенный четырёхугольник удовлетворяет всем заданным условиям.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных длинах сторон и угле. Существование решения зависит от возможности построения треугольника $BCD$, то есть от того, пересекутся ли окружности, построенные в шагах 4 и 5. Это возможно только в том случае, если расстояние между их центрами (длина диагонали $BD$) удовлетворяет неравенству треугольника:

$|b - c| \le BD \le b + c$

Длину диагонали $BD$ можно определить из треугольника $ABD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A) = a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)$

Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$|b - c| \le \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} \le b + c$

В зависимости от этого условия возможны следующие случаи:

• Если $ \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} > b + c $ или $ \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} < |b - c| $, то окружности не пересекаются, и задача не имеет решений.

• Если $ \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} = b + c $ или $ \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} = |b - c| $, то окружности касаются, и задача имеет единственное решение.

• Если $ |b - c| < \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} < b + c $, то окружности пересекаются в двух точках, и задача имеет два решения (два четырёхугольника, симметричных относительно диагонали $BD$).

Ответ: Алгоритм построения четырёхугольника описан выше. Построение возможно, если длины сторон и угол удовлетворяют условию $|b - c| \le \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)} \le b + c$.

Условие 2015-2022.

26. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одному из углов.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).