Номер 25, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 25, страница 12.

Условие 2023.

25. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ с углами $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$, а $l_C$ — биссектриса угла $\angle C$. По условию задачи, биссектрисы $l_A$ и $l_C$ либо лежат на одной прямой, либо параллельны. Необходимо доказать, что в этом случае два других угла четырехугольника равны, то есть $\angle B = \angle D$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Биссектрисы лежат на одной прямой.

Если биссектрисы $l_A$ и $l_C$ лежат на одной прямой, то эта прямая проходит через вершины $A$ и $C$, то есть совпадает с диагональю $AC$.

Это означает, что диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

• $\angle BAC = \angle DAC$, так как $AC$ — биссектриса угла $\angle A$.
• $\angle BCA = \angle DCA$, так как $AC$ — биссектриса угла $\angle C$.
• Сторона $AC$ — общая.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $\angle B = \angle D$. Таким образом, утверждение для первого случая доказано.

Ответ: Если биссектрисы лежат на одной прямой, то два других угла четырехугольника равны.

Случай 2: Биссектрисы параллельны.

Пусть биссектрисы $l_A$ и $l_C$ параллельны ($l_A \parallel l_C$). Продолжим сторону $AD$ за вершину $D$. Рассмотрим прямую, содержащую сторону $CD$, как секущую к параллельным прямым $l_A$ и $l_C$. Пусть прямая $CD$ пересекает биссектрису $l_A$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADF$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Углы этого треугольника:

• $\angle DAF = \frac{\angle A}{2}$, так как $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$.
• $\angle ADF = \angle D$, так как это угол четырехугольника.
• $\angle AFD$.

Из суммы углов треугольника $\triangle ADF$ имеем: $\angle A/2 + \angle D + \angle AFD = 180^\circ$. Отсюда $\angle AFD = 180^\circ - \angle D - \frac{\angle A}{2}$.

Угол $\angle AFC$ является смежным с углом $\angle AFD$, поэтому $\angle AFC = 180^\circ - \angle AFD$. Подставив выражение для $\angle AFD$, получаем: $\angle AFC = 180^\circ - (180^\circ - \angle D - \frac{\angle A}{2}) = \angle D + \frac{\angle A}{2}$.

Теперь воспользуемся свойством параллельных прямых. Так как $l_A \parallel l_C$, а прямая $CF$ (содержащая сторону $CD$) является секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Этими углами являются $\angle AFC$ и $\angle FCL$, где $L$ — точка на биссектрисе $l_C$ такая, что $A$ и $L$ лежат по одну сторону от секущей $CD$. Угол $\angle FCL$ равен $\frac{\angle C}{2}$. Следовательно, $\angle AFC + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденное выражение для $\angle AFC$: $(\angle D + \frac{\angle A}{2}) + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ$ $\angle D + \frac{\angle A + \angle C}{2} = 180^\circ$

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Отсюда выразим сумму углов $\angle A + \angle C$: $\angle A + \angle C = 360^\circ - \angle B - \angle D$.

Подставим это выражение в полученное ранее уравнение: $\angle D + \frac{360^\circ - \angle B - \angle D}{2} = 180^\circ$ $\angle D + 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle D}{2} = 180^\circ$ $\frac{\angle D}{2} - \frac{\angle B}{2} = 0$ $\frac{\angle D}{2} = \frac{\angle B}{2}$ $\angle D = \angle B$

Таким образом, утверждение для второго случая также доказано.

Ответ: Если биссектрисы параллельны, то два других угла четырехугольника равны.

Условие 2015-2022.

25. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).