Номер 28, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 28, страница 12.

Условие 2023.

28. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одной из диагоналей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Задача заключается в построении произвольного четырёхугольника по известным длинам его четырёх сторон и одной из диагоналей. Для решения этой задачи используется метод декомпозиции: четырёхугольник разбивается диагональю на два треугольника, каждый из которых можно построить по трём известным сторонам.

Анализ

Пусть нам необходимо построить четырёхугольник $ABCD$, в котором известны длины сторон $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$ и длина диагонали $AC = e$. Диагональ $AC$ разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для каждого из этих треугольников известны длины всех трёх его сторон:
1) Для $\triangle ABC$ стороны равны $a$, $b$, $e$.
2) Для $\triangle ADC$ стороны равны $c$, $d$, $e$.
Задача сводится к построению этих двух треугольников, имеющих общую сторону $AC$. Построение треугольника по трём сторонам является основной задачей на построение.

Построение

Алгоритм построения с использованием циркуля и линейки:

1. Начертите прямую и отметьте на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отмерьте отрезок длиной $e$ и отложите его от точки $A$ на прямой, получив точку $C$. Отрезок $AC$ — это заданная диагональ.
3. Постройте треугольник $\triangle ABC$:
   • Из точки $A$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
   • Из точки $C$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
   • Одну из точек пересечения этих дуг обозначьте как $B$.
   • Соедините отрезками точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$.
4. Постройте треугольник $\triangle ADC$:
   • Из точки $A$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным длине стороны $d$. Эту дугу следует провести с той стороны от прямой $AC$, где не лежит точка $B$ (для получения выпуклого четырёхугольника).
   • Из точки $C$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным длине стороны $c$.
   • Точку пересечения этих дуг обозначьте как $D$.
   • Соедините отрезками точки $A$ и $D$, а также $D$ и $C$.

В результате будет построен четырёхугольник $ABCD$, который удовлетворяет условиям задачи.

Доказательство

В построенной фигуре $ABCD$ длины сторон равны заданным значениям по определению построения. $AB = a$ и $AD = d$, так как точки $B$ и $D$ лежат на окружностях с центром в точке $A$ и радиусами $a$ и $d$ соответственно. Аналогично, $BC = b$ и $CD = c$, так как точки $B$ и $D$ лежат на окружностях с центром в точке $C$ и радиусами $b$ и $c$. Длина диагонали $AC$ по построению равна $e$. Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить оба треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для этого для каждого из них должно выполняться неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны):
1) Для $\triangle ABC$: $a+b > e$, $a+e > b$ и $b+e > a$.
2) Для $\triangle ADC$: $c+d > e$, $c+e > d$ и $d+e > c$.
Если эти шесть неравенств выполняются, то задача всегда имеет решение. Стоит отметить, что в зависимости от того, по одну или по разные стороны от диагонали $AC$ располагать вершины $B$ и $D$, можно построить два вида четырёхугольников: невыпуклый (вогнутый) или выпуклый. Если в условии не указан тип четырёхугольника, обычно строят выпуклый.

Ответ: Искомый четырёхугольник построен согласно описанному алгоритму, который сводится к построению двух треугольников по трём сторонам на общем основании (заданной диагонали).

Условие 2015-2022.

28. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одной из диагоналей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).