Номер 21, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 21, страница 11.

Условие 2023.

21. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 72^\circ$. Высоты $AE$ и $BF$ треугольника пересекаются в точке $H$. Найдите углы четырёхугольника:

1) $CFHE$;

2) $ACBH$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Сначала найдем все углы треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ$.

Так как $\angle B = \angle C$, треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=AC$).

$AE$ и $BF$ — высоты, поэтому $AE \perp BC$ и $BF \perp AC$. Это означает, что $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle BFA = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ ($\angle AEB = 90^\circ$):

$\angle BAE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABF$ ($\angle AFB = 90^\circ$):

$\angle ABF = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$.

Точка $H$ является точкой пересечения высот $AE$ и $BF$. Рассмотрим треугольник $ABH$:

$\angle HAB = \angle BAE = 18^\circ$.

$\angle HBA = \angle ABF = 54^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ABH$ равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AHB = 180^\circ - (\angle HAB + \angle HBA) = 180^\circ - (18^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Теперь мы можем найти углы заданных четырехугольников.

1) CFHE

Рассмотрим четырехугольник $CFHE$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.

Угол при вершине $C$ — это угол $\angle FCE$, который равен углу $\angle C$ треугольника $ABC$.

$\angle FCE = \angle C = 72^\circ$.

Угол при вершине $F$ — это угол $\angle CFH$. Так как $BF$ — высота, то $BF \perp AC$, следовательно, $\angle BFC = 90^\circ$.

$\angle CFH = 90^\circ$.

Угол при вершине $E$ — это угол $\angle CEH$. Так как $AE$ — высота, то $AE \perp BC$, следовательно, $\angle AEC = 90^\circ$.

$\angle CEH = 90^\circ$.

Угол при вершине $H$ — это угол $\angle FHE$. Его можно найти из суммы углов четырехугольника:

$\angle FHE = 360^\circ - \angle FCE - \angle CFH - \angle CEH = 360^\circ - 72^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 108^\circ$.

Также можно заметить, что углы $\angle FHE$ и $\angle AHB$ являются вертикальными, поэтому $\angle FHE = \angle AHB = 108^\circ$.

Ответ: Углы четырехугольника $CFHE$ равны $72^\circ, 90^\circ, 108^\circ, 90^\circ$.

2) ACBH

Для четырехугольника $ACBH$ найдем углы при его вершинах.

Угол при вершине $A$ — это угол $\angle CAH$.

$\angle CAH = \angle A - \angle BAH = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.

Угол при вершине $C$ — это угол $\angle ACB$, который нам известен.

$\angle ACB = 72^\circ$.

Угол при вершине $B$ — это угол $\angle CBH$.

$\angle CBH = \angle B - \angle ABH = 72^\circ - 54^\circ = 18^\circ$.

Угол при вершине $H$ — это угол $\angle AHB$, который мы уже нашли.

$\angle AHB = 108^\circ$.

Ответ: Углы четырехугольника $ACBH$ равны $\angle CAH = 18^\circ$, $\angle ACB = 72^\circ$, $\angle CBH = 18^\circ$, $\angle AHB = 108^\circ$.

Условие 2015-2022.

21. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 72^\circ$. Высоты $AE$ и $BF$ треугольника пересекаются в точке $H$. Найдите углы четырёх-угольника:

1) $CFHE$;

2) $ACBH$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).