Номер 20, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 20, страница 11.

Условие 2023.

20. В треугольнике ABC известно, что $\angle A = 44^\circ$, $\angle B = 56^\circ$. Биссектрисы AK и BM треугольника пересекаются в точке O. Найдите углы четырёхугольника:

1) MOKC

2) AOBC

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Сначала найдем все углы треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 44^\circ - 56^\circ = 80^\circ$.

$AK$ и $BM$ — биссектрисы, поэтому они делят углы $\angle A$ и $\angle B$ пополам. Точка их пересечения $O$ является центром вписанной окружности треугольника (инцентром).

$\angle OAB = \angle OAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{44^\circ}{2} = 22^\circ$.

$\angle OBA = \angle OBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ$.

1) MOKC

Рассмотрим четырехугольник $MOKC$. Нам нужно найти его углы: $\angle KCM$, $\angle CMO$, $\angle MOK$ и $\angle OKC$.

1. Угол $\angle KCM$ совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$.

$\angle KCM = \angle C = 80^\circ$.

2. Угол $\angle CMO$ является углом $\angle BMC$ в треугольнике $BMC$. Сумма углов треугольника $BMC$ равна $180^\circ$.

$\angle MBC = \angle OBC = 28^\circ$.

$\angle MCB = \angle C = 80^\circ$.

$\angle CMO = \angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - (28^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

3. Угол $\angle OKC$ является углом $\angle AKC$ в треугольнике $AKC$. Сумма углов треугольника $AKC$ равна $180^\circ$.

$\angle KAC = \angle OAC = 22^\circ$.

$\angle KCA = \angle C = 80^\circ$.

$\angle OKC = \angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle KCA) = 180^\circ - (22^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

4. Угол $\angle MOK$ является вертикальным углу $\angle AOB$. Найдем угол $\angle AOB$ из треугольника $AOB$.

$\angle OAB = 22^\circ$.

$\angle OBA = 28^\circ$.

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (22^\circ + 28^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Так как углы $\angle MOK$ и $\angle AOB$ вертикальные, то $\angle MOK = \angle AOB = 130^\circ$.

Проверим сумму углов четырехугольника $MOKC$: $80^\circ + 72^\circ + 78^\circ + 130^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника $MOKC$ равны $80^\circ, 72^\circ, 130^\circ, 78^\circ$.

2) AOBC

Четырехугольник $AOBC$ является невыпуклым (вогнутым) четырехугольником, так как вершина $O$ лежит внутри треугольника, образованного тремя другими вершинами $A, B, C$. Углы такого четырехугольника находятся при его вершинах $A, O, B, C$. Сумма его внутренних углов также равна $360^\circ$.

1. Внутренний угол при вершине $A$ — это $\angle OAC$.

$\angle OAC = 22^\circ$.

2. Внутренний угол при вершине $B$ — это $\angle OBC$.

$\angle OBC = 28^\circ$.

3. Внутренний угол при вершине $C$ — это $\angle BCA$ (или $\angle C$).

$\angle BCA = 80^\circ$.

4. Внутренний угол при вершине $O$ — это рефлексный (внешний) угол к $\angle AOB$.

Мы уже нашли, что $\angle AOB = 130^\circ$.

Внутренний угол четырехугольника $AOBC$ при вершине $O$ равен $360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$.

Проверим сумму углов четырехугольника $AOBC$: $22^\circ + 28^\circ + 80^\circ + 230^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника $AOBC$ равны $22^\circ, 28^\circ, 80^\circ, 230^\circ$.

Условие 2015-2022.

20. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 44^\circ$, $\angle B = 56^\circ$. Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника пересекаются в точке $O$. Найдите углы четырёхугольника:

1) $MOKC$;

2) $AOBC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).