Номер 18, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 18, страница 11.

Условие 2023.

18. В четырёхугольнике $MNKP$ известно, что $MN = NK$, $MP = PK$, $\angle M = 100^\circ$. Найдите $\angle K$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырёхугольник $MNKP$. По условию, у него равны пары смежных сторон: $MN = NK$ и $MP = PK$ (длина отрезка $MP$ равна длине отрезка $PM$). Такой четырёхугольник является дельтоидом (или кайтом).

Проведём диагональ $NP$. Она разделит четырёхугольник $MNKP$ на два треугольника: $\triangle MNP$ и $\triangle KNP$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $MN$ равна стороне $NK$ (по условию задачи).
2. Сторона $MP$ равна стороне $KP$ (по условию задачи).
3. Сторона $NP$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle MNP$ и $\triangle KNP$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $\angle M$ треугольника $\triangle MNP$ лежит напротив общей стороны $NP$. Угол $\angle K$ треугольника $\triangle KNP$ также лежит напротив общей стороны $NP$. Следовательно, эти углы являются соответствующими и равны между собой:

$\angle M = \angle K$

Из условия задачи известно, что $\angle M = 100^{\circ}$.

Следовательно, $\angle K = 100^{\circ}$.

Ответ: $100^{\circ}$

Условие 2015-2022.

18. В четырёхугольнике $MNKP$ известно, что $MN = NK$, $MP = PK$, $\angle M = 100^\circ$. Найдите угол $K$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).