Номер 12, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 12, страница 11.

Условие 2023.

12. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Найдите углы четырехугольника

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда, согласно условию, три угла четырехугольника можно выразить как $4x$, $5x$ и $7x$.

Четвертый угол равен их полусумме. Вычислим его:
Четвертый угол = $\frac{4x + 5x + 7x}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника составляет $360^\circ$. Составим уравнение, чтобы найти $x$:
$4x + 5x + 7x + 8x = 360^\circ$
$24x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$.

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдем величину каждого угла:
Первый угол: $4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$.
Второй угол: $5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.
Третий угол: $7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$.
Четвертый угол: $8x = 8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $60^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$ и $120^\circ$.

Является ли этот четырехугольник выпуклым?

Четырехугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$.

Так как все найденные углы ($60^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$, $120^\circ$) меньше $180^\circ$, данный четырехугольник является выпуклым.

Ответ: да, является.

Условие 2015-2022.

12. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).