Номер 13, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 13, страница 11.

Условие 2023.

13. Может ли у четырёхугольника быть:

1) три прямых угла и один острый;

2) три прямых угла и один тупой;

3) четыре прямых угла;

4) четыре острых угла;

5) два прямых и два тупых угла;

6) два прямых угла, один острый и один тупой?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством любого четырехугольника: сумма его внутренних углов всегда равна $360^\circ$. Также будем использовать определения для разных типов углов:

• Острый угол: угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) три прямых угла и один острый

Пусть три угла четырехугольника — прямые. Их сумма составляет $3 \times 90^\circ = 270^\circ$. Тогда на долю четвертого угла остается $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$. Это означает, что четвертый угол также должен быть прямым. Условие, что он острый (то есть меньше $90^\circ$), не может быть выполнено. Следовательно, такая конфигурация невозможна. Ответ: нет, не может.

2) три прямых угла и один тупой

Аналогично предыдущему случаю, если три угла прямые, их сумма равна $270^\circ$. Четвертый угол должен быть равен $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$. Этот угол является прямым, а не тупым (тупой угол должен быть больше $90^\circ$). Следовательно, такая конфигурация невозможна. Ответ: нет, не может.

3) четыре прямых угла

Если все четыре угла четырехугольника прямые, их сумма будет равна $4 \times 90^\circ = 360^\circ$. Это полностью соответствует свойству суммы углов четырехугольника. Такой четырехугольник существует, и он называется прямоугольником. Ответ: да, может.

4) четыре острых угла

Острый угол по определению меньше $90^\circ$. Если все четыре угла острые, то их сумма будет строго меньше, чем $4 \times 90^\circ = 360^\circ$. Это противоречит тому, что сумма углов четырехугольника должна быть в точности равна $360^\circ$. Следовательно, такая конфигурация невозможна. Ответ: нет, не может.

5) два прямых и два тупых угла

Сумма двух прямых углов равна $2 \times 90^\circ = 180^\circ$. Тупой угол по определению больше $90^\circ$. Сумма двух тупых углов будет строго больше, чем $2 \times 90^\circ = 180^\circ$. В таком случае, общая сумма углов четырехугольника будет строго больше $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$, что противоречит свойству суммы углов. Следовательно, такая конфигурация невозможна. Ответ: нет, не может.

6) два прямых угла, один острый и один тупой

Сумма двух прямых углов составляет $2 \times 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что сумма двух оставшихся углов (одного острого $\alpha$ и одного тупого $\beta$) должна быть равна $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$. Нам нужно проверить, возможно ли равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$, где $\alpha < 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$. Да, это возможно. Например, можно взять острый угол $\alpha = 50^\circ$, тогда тупой угол будет $\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Примером фигуры с такими углами является прямоугольная трапеция. Ответ: да, может.

Условие 2015-2022.

13. Может ли у четырёхугольника быть:

1) три прямых угла и один острый;

2) три прямых угла и один тупой;

3) четыре прямых угла;

4) четыре острых угла;

5) два прямых и два тупых угла;

6) два прямых угла, один острый и один тупой?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).