Номер 24, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 24, страница 12.

Условие 2023.

24. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A = \angle C = 90^\circ$. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A = \angle C = 90^\circ$.

Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) четырёхугольника равна $360^\circ$. Следовательно, для $ABCD$ справедливо:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Подставим известные значения углов:

$90^\circ + \angle B + 90^\circ + \angle D = 360^\circ$

$180^\circ + \angle B + \angle D = 360^\circ$

Отсюда получаем важное соотношение для углов $B$ и $D$:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Пусть $l_B$ и $l_D$ – биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle D$ соответственно. Нам нужно доказать, что прямые $l_B$ и $l_D$ параллельны или лежат на одной прямой.

Для доказательства параллельности двух прямых достаточно показать, что соответственные углы, образованные этими прямыми с некоторой секущей, равны.

В качестве секущей выберем прямую, содержащую сторону $AD$.

Угол между биссектрисой $l_D$ и стороной $AD$ по определению биссектрисы равен половине угла $D$:

$\alpha_D = \frac{\angle D}{2}$

Теперь найдём угол, который биссектриса $l_B$ образует с прямой $AD$. Проведём через вершину $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AD$. Так как $\angle A = 90^\circ$, то $AD \perp AB$. Следовательно, и $m \perp AB$, то есть угол между прямыми $m$ и $AB$ равен $90^\circ$.

Биссектриса $l_B$ делит угол $\angle B$ пополам, поэтому угол между стороной $AB$ и биссектрисой $l_B$ равен $\frac{\angle B}{2}$.

Угол между прямой $m$ и биссектрисой $l_B$ будет равен $90^\circ - \frac{\angle B}{2}$ (как разность углов, если луч $BC$ лежит между лучами $BA$ и $m$, или как их сумма, если ... в любом случае, острый угол между прямыми будет таким). Этот угол является соответственным углу между прямой $AD$ и биссектрисой $l_B$ (так как $m \parallel AD$). Обозначим этот угол $\alpha_B$:

$\alpha_B = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Теперь сравним найденные углы $\alpha_D$ и $\alpha_B$. Прямые $l_B$ и $l_D$ будут параллельны, если $\alpha_D = \alpha_B$.

$\frac{\angle D}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:

$\angle D = 180^\circ - \angle B$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Это соотношение было нами установлено в самом начале из суммы углов четырёхугольника. Следовательно, равенство углов $\alpha_D = \alpha_B$ является верным. Так как соответственные углы равны, то прямые $l_B$ и $l_D$ параллельны.

Параллельные прямые могут либо не иметь общих точек, либо совпадать (лежать на одной прямой). Второй случай реализуется, если биссектрисы $l_B$ и $l_D$ имеют общую точку. Это происходит, например, когда четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом, у которого диагональ $BD$ является осью симметрии ($AB = BC$ и $AD = DC$). В этом случае диагональ $BD$ является биссектрисой углов $\angle B$ и $\angle D$ одновременно, и биссектрисы лежат на одной прямой.

Таким образом, доказано, что биссектрисы двух других углов четырехугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

24. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A = \angle C = 90^\circ$. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).