Номер 27, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 27, страница 12.

Условие 2023.

27. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и двум диагоналям.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения четырехугольника по трем сторонам и двум диагоналям, необходимо выполнить анализ, построение, доказательство и исследование задачи.

Анализ

Пусть нам даны пять отрезков: $a, b, c$ — длины трех сторон и $d_1, d_2$ — длины двух диагоналей. Предположим, что искомый четырехугольник $ABCD$ построен. Пусть $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $AC = d_1$ и $BD = d_2$.
Мы можем заметить, что четырехугольник $ABCD$ состоит из двух треугольников, например, $ABC$ и $BCD$.
1. Треугольник $ABC$ можно построить по трем сторонам: $AB=a$, $BC=b$ и $AC=d_1$.
2. После построения треугольника $ABC$ у нас будут определены вершины $A$, $B$ и $C$. Четвертая вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям:
- она находится на расстоянии $c$ от вершины $C$;
- она находится на расстоянии $d_2$ от вершины $B$.
Таким образом, точка $D$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в точке $C$ и радиусом $c$, и другой с центром в точке $B$ и радиусом $d_2$.

Построение

1. Строим треугольник $ABC$ по трем заданным сторонам: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = d_1$. Для этого строим отрезок $AC$ длиной $d_1$. Затем из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $a$, а из точки $C$ — дугу окружности радиусом $b$. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $B$.
2. Из центра в точке $B$ строим окружность (или ее дугу) радиусом $d_2$.
3. Из центра в точке $C$ строим окружность (или ее дугу) радиусом $c$.
4. Точка пересечения этих двух окружностей (дуг) является искомой вершиной $D$.
5. Соединяем последовательно вершины $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны и диагонали по построению равны заданным величинам:
- $AB = a$, $BC = b$, $AC = d_1$ (из построения треугольника $ABC$ на шаге 1).
- $CD = c$, так как точка $D$ лежит на окружности с центром в $C$ и радиусом $c$ (шаг 3).
- $BD = d_2$, так как точка $D$ лежит на окружности с центром в $B$ и радиусом $d_2$ (шаг 2).
Следовательно, построенный четырехугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача не всегда имеет решение. Количество решений зависит от длин заданных отрезков.
1. Для того чтобы можно было построить треугольник $ABC$ (шаг 1), необходимо выполнение неравенства треугольника:
$a + b > d_1$
$a + d_1 > b$
$b + d_1 > a$
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, задача не имеет решений.
2. Для нахождения вершины $D$ (шаг 4) необходимо, чтобы окружности, построенные на шагах 2 и 3, пересекались. Расстояние между их центрами — это сторона $BC=b$. Радиусы окружностей — $c$ и $d_2$. Окружности пересекаются, если выполняется неравенство треугольника для треугольника $BCD$:
$b + c > d_2$
$b + d_2 > c$
$c + d_2 > b$
- Если эти неравенства выполняются, окружности пересекутся в двух точках ($D_1$ и $D_2$, симметричных относительно прямой $BC$). Таким образом, задача будет иметь два решения.
- Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $b+c = d_2$), окружности касаются, и задача будет иметь одно решение.
- Если неравенства не выполняются, окружности не пересекутся, и на этом этапе задача не будет иметь решений.

Примечание: В условии не уточнено, какие именно три стороны даны (последовательные или нет). Мы рассмотрели случай, когда даны три последовательные стороны $AB, BC, CD$. Если бы были даны, например, стороны $AB, BC, DA$, то на шаге 3 мы бы строили окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине стороны $DA$. Логика решения осталась бы прежней.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от того, выполнимы ли неравенства треугольника для треугольников, из которых состоит четырехугольник ($ABC$ и $BCD$ в рассмотренном случае).

Условие 2015-2022.

27. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и двум диагоналям.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).