Номер 24, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 24, страница 13.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x^2 - 9 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Корнями уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 9$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) там, где график параболы находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на крайних интервалах, включая концы.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) $x^2 - 8 < 0$

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$.
$x^2 = 8$, откуда $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Корнями уравнения являются $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 8$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось Ox в точках $x = -2\sqrt{2}$ и $x = 2\sqrt{2}$.
Значения функции отрицательны ($y < 0$) там, где график параболы находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.
Ответ: $x \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

в) $\frac{1}{(x-2)^2} > 0$

Проанализируем данное неравенство.
Числитель дроби равен 1, это положительное число.
Знаменатель $(x-2)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда неотрицателен: $(x-2)^2 \ge 0$.
Так как дробь должна быть строго больше нуля, знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$(x-2)^2 = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2$.
При $x = 2$ выражение не определено.
При всех остальных значениях $x \neq 2$, знаменатель $(x-2)^2$ будет строго положительным.
Таким образом, частное положительного числа (1) и положительного числа ($(x-2)^2$) всегда будет положительным.
Неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.

г) $\frac{3}{(4-x)^2} \le 0$

Проанализируем данное неравенство.
Числитель дроби равен 3, это положительное число.
Знаменатель $(4-x)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда неотрицателен: $(4-x)^2 \ge 0$.
Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. $(4-x)^2 \neq 0 \implies 4-x \neq 0 \implies x \neq 4$.
При всех $x \neq 4$, знаменатель $(4-x)^2$ строго положителен.
Следовательно, при $x \neq 4$ дробь $\frac{3}{(4-x)^2}$ является частным двух положительных чисел, а значит, всегда строго положительна.
Неравенство требует, чтобы это выражение было меньше или равно нулю.
Выражение не может быть меньше нуля, так как оно всегда положительно.
Выражение не может быть равно нулю, так как для этого числитель должен быть равен нулю, а он равен 3.
Таким образом, нет таких значений $x$, при которых данное неравенство выполнялось бы.
Ответ: нет решений.