Номер 29, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 29, страница 14.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы сравнить значения выражений, сначала упростим каждое из них.

Рассмотрим первое выражение: $2\sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}}$.

Упростим корень из дроби, используя свойство корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Теперь подставим упрощенное значение обратно в выражение и приведем слагаемые к общему знаменателю: $2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{10\sqrt{5} + \sqrt{5}}{5} = \frac{11\sqrt{5}}{5}$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}}$.

Упростим корень из дроби аналогичным образом: $\sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$: $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Подставим упрощенное значение обратно в выражение и приведем к общему знаменателю: $2\sqrt{7} - \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{7 \cdot 2\sqrt{7}}{7} - \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{14\sqrt{7} - \sqrt{7}}{7} = \frac{13\sqrt{7}}{7}$.

Теперь нам нужно сравнить два упрощенных выражения: $\frac{11\sqrt{5}}{5}$ и $\frac{13\sqrt{7}}{7}$.

Первое выражение является суммой положительных чисел, поэтому оно положительно. Второе выражение является разностью, проверим его знак: $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$, а $\sqrt{\frac{1}{7}} < 1$. Так как $\sqrt{28} > 1$, разность $2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}}$ положительна. Поскольку оба выражения положительны, мы можем сравнить их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение: $(\frac{11\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{11^2 \cdot (\sqrt{5})^2}{5^2} = \frac{121 \cdot 5}{25} = \frac{605}{25} = \frac{121}{5}$.

Возведем в квадрат второе выражение: $(\frac{13\sqrt{7}}{7})^2 = \frac{13^2 \cdot (\sqrt{7})^2}{7^2} = \frac{169 \cdot 7}{49} = \frac{1183}{49} = \frac{169}{7}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{121}{5}$ и $\frac{169}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $35$: $\frac{121}{5} = \frac{121 \cdot 7}{35} = \frac{847}{35}$. $\frac{169}{7} = \frac{169 \cdot 5}{35} = \frac{845}{35}$.

Так как $847 > 845$, то $\frac{847}{35} > \frac{845}{35}$, и, следовательно, $\frac{121}{5} > \frac{169}{7}$.

Поскольку квадрат первого выражения больше квадрата второго, и оба исходных выражения положительны, то и первое выражение больше второго.

Ответ: $(2\sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}}) > (2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}})$.