Номер 34, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 34, страница 14.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ при условиях $a > 0$, $b > 0$, $c < 0$.

1. Проверим существование корней. Корни квадратного уравнения существуют, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен. В нашем случае $b^2 > 0$, так как $b > 0$. Произведение $ac$ будет отрицательным, поскольку $a > 0$ и $c < 0$. Следовательно, выражение $-4ac$ будет положительным. Таким образом, дискриминант $D$ является суммой двух положительных чисел ($b^2$ и $-4ac$), а значит $D > 0$. Это гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней с помощью теоремы Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняется равенство: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. По условию $c < 0$ (отрицательное число) и $a > 0$ (положительное число). Следовательно, их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным.

Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 < 0$, это означает, что один из корней должен быть положительным, а другой — отрицательным. Таким образом, корни имеют различные знаки.

Ответ: Так как при заданных условиях $ac < 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Согласно теореме Виета, произведение этих корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0$, что возможно только если корни имеют разные знаки.

б)

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ при условиях $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$.

1. Проверим существование корней. Дискриминант уравнения равен $D = b^2 - 4ac$. По условию $b < 0$, значит $b^2 > 0$. Произведение $ac$ будет отрицательным, так как $a < 0$ и $c > 0$. Следовательно, выражение $-4ac$ будет положительным. Дискриминант $D$ является суммой двух положительных чисел ($b^2$ и $-4ac$), поэтому $D > 0$. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней с помощью теоремы Виета. Произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. По условию $c > 0$ (положительное число) и $a < 0$ (отрицательное число). Следовательно, их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным.

Так как произведение корней $x_1 \cdot x_2 < 0$, это возможно только в том случае, если один корень положительный, а другой — отрицательный. Следовательно, корни имеют различные знаки.

Ответ: При заданных условиях $ac < 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$, поэтому уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета, их произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0$, что означает, что корни имеют разные знаки.