Номер 27, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 27, страница 14.

Условие.

27. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{(5-x)(5+x)};$

б) $\sqrt{(x-3)(3-x)}?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Выражение $\sqrt{(5-x)(5+x)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Запишем и решим соответствующее неравенство:
$(5-x)(5+x) \ge 0$
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, преобразуем левую часть:
$25 - x^2 \ge 0$
Перенесем $x^2$ в правую часть:
$25 \ge x^2$
Это неравенство равносильно $x^2 \le 25$. Решением является промежуток, в котором модуль $x$ не превышает 5, то есть $|x| \le 5$.
Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-5 \le x \le 5$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем отрезку от -5 до 5 включительно.
Ответ: $x \in [-5; 5]$

б) Выражение $\sqrt{(x-3)(3-x)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим неравенство:
$(x-3)(3-x) \ge 0$
Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Подставим это в неравенство:
$(x-3) \cdot (-(x-3)) \ge 0$
$-(x-3)^2 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$(x-3)^2 \le 0$
Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$, единственная возможность для выполнения неравенства $(x-3)^2 \le 0$ — это равенство нулю.
$(x-3)^2 = 0$
Из этого следует:
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Таким образом, данное выражение имеет смысл только при одном значении $x$.
Ответ: $x = 3$