Номер 32, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 32, страница 14.

Условие.

32. Упростите выражение:

а) $ \sqrt{\frac{(a^2 - 1)^2}{4a^2} + 1} $

б) $ \sqrt{\left(\frac{b^2 + 1}{2b}\right)^2 - 1} $

33.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{(a^2-1)^2}{4a^2} + 1} $.

Для начала приведем выражение под корнем к общему знаменателю. Область допустимых значений для переменной $a$ определяется условием $4a^2 \neq 0$, то есть $a \neq 0$.
$ \sqrt{\frac{(a^2-1)^2}{4a^2} + \frac{4a^2}{4a^2}} = \sqrt{\frac{(a^2-1)^2 + 4a^2}{4a^2}} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и приведем подобные слагаемые:
$ (a^2-1)^2 + 4a^2 = (a^4 - 2a^2 + 1) + 4a^2 = a^4 + 2a^2 + 1 $.

Выражение под корнем принимает вид:
$ \sqrt{\frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4a^2}} $

Заметим, что числитель является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ :
$ a^4 + 2a^2 + 1 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = (a^2+1)^2 $.
Знаменатель также является полным квадратом: $4a^2 = (2a)^2$.
Подставим эти выражения обратно под корень:
$ \sqrt{\frac{(a^2+1)^2}{(2a)^2}} = \sqrt{(\frac{a^2+1}{2a})^2} $

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$ |\frac{a^2+1}{2a}| $

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2+1$ всегда положительно. Следовательно, $|a^2+1| = a^2+1$. Модуль в знаменателе остается, так как знак $a$ неизвестен.
$ \frac{|a^2+1|}{|2a|} = \frac{a^2+1}{2|a|} $

Ответ: $ \frac{a^2+1}{2|a|} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{(\frac{b^2+1}{2b})^2 - 1} $.

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $b \neq 0$. Также выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$ (\frac{b^2+1}{2b})^2 - 1 \ge 0 $
$ (\frac{b^2+1}{2b})^2 \ge 1 $
$ |\frac{b^2+1}{2b}| \ge 1 $
Так как $b^2+1 > 0$, то $|b^2+1| = b^2+1$. Получаем $\frac{b^2+1}{|2b|} \ge 1$, или $b^2+1 \ge 2|b|$.
$ b^2 - 2|b| + 1 \ge 0 $
$ (|b|-1)^2 \ge 0 $
Это неравенство выполняется для любого действительного $b$. Таким образом, единственным ограничением является $b \neq 0$.

Приведем выражение под корнем к общему знаменателю $(2b)^2 = 4b^2$:
$ \sqrt{\frac{(b^2+1)^2}{4b^2} - \frac{4b^2}{4b^2}} = \sqrt{\frac{(b^2+1)^2 - 4b^2}{4b^2}} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ (b^2+1)^2 - 4b^2 = (b^4 + 2b^2 + 1) - 4b^2 = b^4 - 2b^2 + 1 $.

Выражение под корнем принимает вид:
$ \sqrt{\frac{b^4 - 2b^2 + 1}{4b^2}} $

Числитель является полным квадратом разности: $ b^4 - 2b^2 + 1 = (b^2-1)^2$. Знаменатель — полный квадрат: $4b^2 = (2b)^2$.
Подставим эти выражения:
$ \sqrt{\frac{(b^2-1)^2}{(2b)^2}} = \sqrt{(\frac{b^2-1}{2b})^2} $

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем окончательный результат:
$ |\frac{b^2-1}{2b}| $

Ответ: $ |\frac{b^2-1}{2b}| $